Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線經(jīng)過原點O，點B（-2，n）在這條拋物線上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將直線y=-2x沿y軸向下平移b個單位后得到直線l，若直線l經(jīng)過B點，求n、b的值；
（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點C，直線l與y軸交于點D，且與拋物線的對稱軸交于點E．若P是拋物線上一點，且PB=PE，求P點的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵拋物線經(jīng)過原點，
∴m²-6m+8=0．
解得m₁=2，m₂=4．
由題意知m≠4，
∴m=2．
∴拋物線的解析式為．

（2）∵點B（-2，n）在拋物線上，
∴n=3．
∴B點的坐標(biāo)為（-2，3）．
∵直線l的解析式為y=-2x-b，直線l經(jīng)過B點，
∴3=-2（-2）-b．
∴b=1．

（3）∵拋物線的對稱軸為直線x=2，直線l的解析式為y=-2x-1，
∴拋物線的對稱軸與x軸的交點C的坐標(biāo)為（2，0），
直線l與y軸、直線x=2的交點坐標(biāo)分別為 D（0，-1）、E（2，-5）．
過點B作BG⊥直線x=2于G，與y軸交于F．
則BG=4．
在Rt△BGC中，．
∵CE=5，∴CB=CE．
過點E作EH⊥y軸于H．
則點H的坐標(biāo)為 （0，-5）．
∵點F、D的坐標(biāo)為F（0，3）、D（0，-1），
∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°，
∵在△DFB和△DHE中

∴△DFB≌△DHE（SAS）．
∴DB=DE．
∵PB=PE，
∴點P在直線CD上．
∴符合條件的點P是直線CD與該拋物線的交點．
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+a．
將D（0，-1）、C（2，0）代入，
得
解得
∴直線CD的解析式為．
設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，），
∴=．
解得 ，．
∴，．
∴點P的坐標(biāo)為（，）或（，）．
分析：（1）利用拋物線經(jīng)過原點，將（0，0）代入求出m即可；
（2）將點B（-2，n）代入拋物線求出n的值，進而得出直線l的解析式中b的值；
（3）首先求出E點坐標(biāo)，進而得出△DFB≌△DHE，再求直線CD的解析式，將一次函數(shù)與二次函數(shù)聯(lián)立求出交點坐標(biāo)．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及一次函數(shù)與二次函數(shù)交點問題等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出符合條件的點P是直線CD與該拋物線的交點是解題關(guān)鍵．