Question

已知：在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A、C分別在y軸、x上，且∠ACB=90°，AC=BC．
（1）如圖1，當A（0，-2），C（1，0），點B在第四象限時，則點B的坐標為

 

；
（2）如圖2，若BO平分∠ABC，交AC于D，過A作AE⊥y軸，垂足為E，則AE與BD之間的數(shù)量關(guān)系是

 

（3）如圖3，當點C在x正半軸上運動，點A在y正半軸上運動，點B在第四象限時，作BD⊥y于點D，試判斷①

OC+BD

OA

與②

OC-BD

OA

中

 

是定值（只填序號），并求出這個定值．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標與圖形性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）過點B作BD⊥OD，可證△AOC≌△CDB，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可解題；
（2）延長BC，AE交于點F，可證△ACF≌△BCD，可證△ABE≌△FBE，即可求得BD=2AE；
（3）作BE⊥OC，則BD=OE，可證△ACO≌△BCE，可得OA+DB=OC，即可解題．

解答：解：（1）過點B作BD⊥OD，

∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠OAC，
在△AOC和△CDB中，

∠COA=∠BDC=90° ∠CAO=∠BCD AC=BC

，
∴△AOC≌△CDB（AAS），
∴CD=OA，BD=OC，
∴點B坐標為（3，-1）；
（2）延長BC，AE交于點F，

∵AC=BC，AC⊥BC，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠COD=22.5°，∠DAE=90°-∠ABD-∠BAD=22.5°，
在△ACF和△BCD中，

∠DAE=∠COD BC=AC ∠BCD=∠ACF=90°

，
∴△ACF≌△BCD（ASA），
∴AF=BD，
在△ABE和△FBE中，

∠ABE=∠FBE BE=BE ∠AEB=∠FEB

，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AE=EF，
∴BD=2AE；
（3）作BE⊥OC，則BD=OE，

∵∠CAO+∠ACO=90°，∠ACO+∠BCE=90°，
∴∠CAO=∠BCE，
在△ACO和△BCE中，

∠BEC=∠COA=90° ∠BCE=∠CAO BC=AC

，
∴△ACO≌△BCE（AAS），
∴CE=OA，
∴OA+DB=OC．
∴

OC-BD

OA

=1．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的、對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中每一問都找出全等三角形并證明其全等是解題的關(guān)鍵．