Question

【題目】如圖，在菱形 ABCD 中，AB=2，∠DAB=60°，點(diǎn) E 是 AD 邊的中點(diǎn)，點(diǎn) M 是 AB 邊上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn) A 重合）， 延長 ME 交 CD 的延長線于點(diǎn) N，連接MD，AN．

（1）求證：四邊形 AMDN 是平行四邊形．

（2）當(dāng) AM 的值為何值時，四邊形 AMDN 是矩形？請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析； (2) AM =1.

【解析】

（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得ND∥AM，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，根據(jù)中點(diǎn)的定義求出DE=AE，然后利用“角角邊”證明△NDE和△MAE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得到ND=MA，然后利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到DM⊥AB，再求出∠ADM=30°，然后根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解答．

(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴ND∥AM，
∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，
∵點(diǎn)E是AD中點(diǎn)，
∴DE=AE，
在△NDE和△MAE中，
，
∴△NDE≌△MAE(AAS)，
∴ND=MA，
∴四邊形AMDN是平行四邊形；
(2)AM=1.
理由如下：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB=2，
∵平行四邊形AMDN是矩形，
∴DM⊥AB，
即∠DMA=90°，
∵∠DAB=60°，
∴∠ADM=30°，
∴AM=AD=1.