Question

【題目】在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，AE=AB，過(guò)點(diǎn)E作直線EF，在EF上取一點(diǎn)G，使得∠EGB=∠EAB，連接AG．

（1）如圖①，當(dāng)EF與AB相交時(shí)，若∠EAB=60°，求證：EG=AG+BG；

（2）如圖②，當(dāng)EF與CD相交時(shí)，且∠EAB=90°，請(qǐng)你寫出線段EG、AG、BG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）EG=AG﹣BG，理由見(jiàn)解析．

【解析】試題分析：（1）如圖，作∠GAH=∠EAB交GE于點(diǎn)H，易證△ABG≌△AEH ，再判定△AGH是等邊三角形，即可得結(jié)論；（2）EG=AG-BG，如圖②，作∠GAH=∠EAB交GE于點(diǎn)H，類比（1）的方法證明△ABG≌△AEH，再判定△AGH是等腰直角三角形，即可得結(jié)論.

試題解析：

如圖，作∠GAH=∠EAB交GE于點(diǎn)H

∴∠GAB=∠HAE

∵∠EAB =∠EGB,∠APE=∠BPG

∴∠ABG=∠AEH

又∵AB=AE

∴△ABG≌△AEH

∴BG=EH,AG=AH

∵∠GAH=∠EAB=60°

∴△AGH是等邊三角形

∴AG=GH

∴EG=AG+BG

(2) EG=AG-BG,

如圖②，作∠GAH=∠EAB交GE于點(diǎn)H

∴∠GAB=∠HAE

又∵∠EGB=∠EAB=90°

∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°

∴∠ABG=∠AEH

又∵AB=AE

∴△ABG≌△AEH

∴BG=EH,AG=AH

又∵∠GAH =∠EAB=90°

∴△AGH是等腰直角三角形

∴AG=HG

∴EG=AG-BG