【題目】如圖,直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6a≠0)相交于A)和B4,m),點P是線段AB上異于A、B的動點,過點PPC⊥x軸于點D,交拋物線于點C

1)求拋物線的解析式;

2)是否存在這樣的P點,使線段PC的長有最大值,若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由;

3)求PAC為直角三角形時點P的坐標.

【答案】解:(1∵B4,m)在直線y=x+2

∴m=6,B(46)

∵AB4,6)在拋物線

解得

拋物線的解析式

2)存在.

設動點P的坐標為(n,n+2),點C的坐標為(n2n2-8n+6),

∴PC=n+2-2n2-8n+6),

=-2n2+9n-4,

=-2n-+

∵-20

n=時,線段PC最大且為

【解析】試題分析:(1)已知B4,m)在直線y=x+2上,可求得m的值,拋物線圖象上的A、B兩點坐標,可將其代入拋物線的解析式中,通過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值.

2)要弄清PC的長,實際是直線AB與拋物線函數(shù)值的差.可設出P點橫坐標,根據(jù)直線AB和拋物線的解析式表示出P、C的縱坐標,進而得到關于PCP點橫坐標的函數(shù)關系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出PC的最大值.

3)當△PAC為直角三角形時,根據(jù)直角頂點的不同,有三種情形,需要分類討論,分別求解.

試題解析:(1∵B4,m)在直線y=x+2上,

∴m=4+2=6,

∴B4,6),

A, )、B4,6)在拋物線y= +bx+6上,

,解得,

拋物線的解析式為y=﹣8x+6;

2)設動點P的坐標為(n,n+2),則C點的坐標為(n, ﹣8n+6),

PC=n+2﹣8n+6),

=﹣+9n﹣4,

=

∵PC0,

n=時,線段PC最大值為;

3∵△PAC為直角三角形,

i)若點P為直角頂點,則∠APC=90°

由題意易知,PC∥y軸,∠APC=45°,因此這種情形不存在;

ii)若點A為直角頂點,則∠PAC=90°

如答圖3﹣1,過點A, )作ANx軸于點N,則ON=,AN=

過點AAM⊥直線AB,交x軸于點M,則由題意易知,△AMN為等腰直角三角形,

MN=AN=,OM=ON+MN=+=3,

∴M30).

設直線AM的解析式為:y=kx+b,

則: ,解得,

直線AM的解析式為:y=﹣x+3①,

又拋物線的解析式為:y=﹣8x+6,

聯(lián)立①②式,解得:x=3x=(與點A重合,舍去),

∴C3,0),即點CM點重合.

x=3時,y=x+2=5,

3,5);

iii)若點C為直角頂點,則∠ACP=90°

y=﹣8x+6=,

拋物線的對稱軸為直線x=2

如答圖3﹣2,作點A)關于對稱軸x=2的對稱點C,

則點C在拋物線上,且C).

x=時,y=x+2=

, ).

3,5)、, )均在線段AB上,

綜上所述,PAC為直角三角形時,點P的坐標為(3,5)或(, ).

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③借助圖象,寫出解集;由所標示圖象,可得不等式-2x24x≥0的解集為 ;

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