Question

如圖在等腰三角形ABC中，∠ABC=120°，點(diǎn)P是底邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M、N分別是AB、BC的中點(diǎn)，若PM+PN的最小值為2，則△ABC的周長(zhǎng)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題

專題：

分析：首先要明確P點(diǎn)在何處，作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M′，根據(jù)勾股定理求出MN的長(zhǎng)，由三角形中位線的性質(zhì)及三角函數(shù)分別求出AB、BC、AC的長(zhǎng)，從而得到△ABC的周長(zhǎng)．

解答：解：作M點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M'N，與AC的交點(diǎn)即是P點(diǎn)的位置，
∵M(jìn)，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，
∴MN是△ABC的中位線，
∴MN∥AC，MN=

1

2

AC，
∴

PM′

PN

=

KM′

KM

=1，
∴PM′=PN，
∴MP=PN，
∵在△MBP和△NBP中，

BN=BM BP=BP PN=PM

，
∴△MBP≌△NBP（SSS），
∴∠ABP=∠CBP=60°，
∵AB=BC，
∴AP=PC，
即：當(dāng)PM+PN最小時(shí)P在AC的中點(diǎn)，
∵PM+PN的最小值為2，
∴PM=PN=1，MN=

3

，
∴AC=2

3

，
AB=BC=2PM=2PN=2，
∴△ABC的周長(zhǎng)為：2+2+2

3

=4+2

3

．
故答案為：4+2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等腰三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱最短路線，及三角函數(shù)等知識(shí)的綜合應(yīng)用．正確確定P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．