Question

如圖，AB是⊙O的直徑，過點B作⊙O的切線BM，弦CD∥BM，交AB于點F，且DA=DC，鏈接AC，AD，延長AD交BM地點E．

（1）求證：△ACD是等邊三角形．

（2）連接OE，若DE=2，求OE的長．

Answer 1

【考點】切線的性質(zhì)．

【分析】（1）由AB是⊙O的直徑，BM是⊙O的切線，得到AB⊥BE，由于CD∥BE，得到CD⊥AB，根據(jù)垂徑定理得到=，于是得到AD=AC，然后根據(jù)已知DA=DC，得出AD=AC=CD，即可證得；

（2）連接OE，過O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等邊三角形，得到∠DAC=60°又直角三角形的性質(zhì)得到BE=AE，ON=AO，設(shè)⊙O的半徑為：r則ON=r，AN=DN=r，由于得到EN=2+r，BE=AE=，在R_t△DEF與R_t△BEO中，由勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，BM是⊙O的切線，

∴AB⊥BE，

∵CD∥BE，

∴AB⊥CD，

∴=，

∴AD=AC，

∵DA=DC，

∴AD=AC=CD，

∴△ACD是等邊三角形；

（2）解：連接OE，過O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等邊三角形，

∴∠DAC=60°

∵AD=AC，CD⊥AB，

∴∠DAB=30°，

∴BE=AE，ON=AO，

設(shè)⊙O的半徑為：r，

∴ON=r，AN=DN=r，

∴EN=2+r，BE=AE=，

在R_t△NEO與R_t△BEO中，

OE²=ON²+NE²=OB²+BE²，

即（）²+（2+）²=r²+（）²，

∴r=2，

∴OE²=（）²+25=28，

∴OE=2．

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，過O作ON⊥AD于N，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．