【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=8cm,BC=6cm,動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā).以2cm/s的速度沿射線AD方向運(yùn)動(dòng),以AE為底邊,在AD的右側(cè)作等腰直角角形AEF,當(dāng)點(diǎn)F落在射線BC上時(shí),點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng),設(shè)AEF與矩形ABCD重疊部分的面積為S,運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s).

(1)當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)F落在射線BC上;

(2)當(dāng)線段CD將AEF的面積二等分時(shí),求t的值;

(3)求S與t的函數(shù)關(guān)系式;

(4)當(dāng)S=17時(shí),求t的值.

【答案】(1)8(2)6(3)S=(4)5

【解析】

試題分析:(1)由矩形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)得出FH=8cm,再由運(yùn)動(dòng)得出FH=t,即可;

(2)由等腰直角三角形的性質(zhì)得出斜邊上的高也是中線,根據(jù)三角形的中線把三角形AEF面積平分,判斷出點(diǎn)F在CD上,即可;

(3)分三種情況先利用矩形和運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)顯示出三角形高,底邊和梯形的上下底,高,再利用三角形和梯形的面積公式求解;

(4)先判斷出面積是17時(shí),運(yùn)動(dòng)時(shí)間在3t6內(nèi),再直接代入函數(shù)關(guān)系式中,即可.

試題解析:(1)如圖1,

過點(diǎn)F作FHAD于H,

在矩形ABCD中,AB=8cm,BC=6cm,BAD=90°,

點(diǎn)F落在射線BC上,

FH=8cm,

t=8s,

(2)如圖2,

∵△AEF是等腰直角三角形,

AE邊上的高線也是該邊的中線,

點(diǎn)F在邊CD上時(shí),CD將AEF的面積二等分,

FD是直角三角形的斜邊的直線,

由運(yùn)動(dòng)知,F(xiàn)D=AD=6=t,

t=6s,

(3)當(dāng)0t3時(shí),如圖3,

過點(diǎn)F作FHAD,

由運(yùn)動(dòng)知,AE=2t,

FH=AE=t,

S=AE×FH=t2,

當(dāng)3t6時(shí),如圖4,

過點(diǎn)F作FHAD,

由運(yùn)動(dòng)知,AE=2t,

DG=DE=2t﹣6,F(xiàn)H=t,DH=6﹣t,

S=SAEF+S梯形DHFG=×AE×FH+(DG+FH)×DH=××2t×t+(2t﹣6+t)×(6﹣t)=﹣t2+12t﹣18,

當(dāng)6t8時(shí),如圖5,

過點(diǎn)F作FHAD,

DG=AD=6

S=SADG=AD×GD=18;

S=,

(4)由函數(shù)關(guān)系式知,S=17的運(yùn)動(dòng)時(shí)間在3t6中,

將S=17代入S=﹣t2+12t﹣18中,

﹣t2+12t﹣18=17,

t=7(舍)或t=5

當(dāng)S=17時(shí),t的值為5s.

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