Question

7．已知△ABC中，AB=6，AC=BC=5，將△ABC折疊，使點A落在BC邊上的點D處，折痕為EF（點E、F分別在邊AB、AC上）．
（1）當(dāng)ED⊥BC時，BE的長為$\frac{30}{9}$；
（2）當(dāng)以B、E、D為頂點的三角形與△DEF相似時，BE的長為3或$\frac{14+16\sqrt{3}}{13}$．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作CM⊥AB垂足為M，設(shè)AE=DE=x，由△EDB∽△CMB，得$\frac{EB}{BC}$=$\frac{DE}{CM}$，求出x即可解決問題．
（2）分兩種情形如圖2中，①當(dāng)∠FED=∠EDB時，②當(dāng)∠FED=∠DEB時，分別求解即可．

解答 解：（1）如圖1中，作CM⊥AB垂足為M，設(shè)AE=DE=x，
∵CA=CB=5，CM⊥AB，
∴AM=BM=3，∴CM=$\sqrt{B{C}^{2}-B{M}^{2}}$=4，
∵∠B=∠B，∠EDB=∠CMB=90°，
∴△EDB∽△CMB，
∴$\frac{EB}{BC}$=$\frac{DE}{CM}$，
∴$\frac{6-x}{5}$=$\frac{x}{4}$，
∴x=$\frac{24}{9}$，
∴BE=6-x=$\frac{30}{9}$．
故答案為$\frac{30}{9}$
（2）如圖2中，①當(dāng)∠FED=∠EDB時，∵∠B=∠EAF=∠EDF，∴△EDF∽△△DBE，
∴EF∥CB，設(shè)EF交AD于點O，
∵AO=OD，OE∥BD，
∴AE=EB=3，
②當(dāng)∠FED=∠DEB時，則∠FED=∠FEA=∠DEB=60°，此時△FED∽△DEB，設(shè)AE=ED=x，作DN⊥AB于N，
則EN=$\frac{1}{2}$x，DN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，∵DN∥CM，
∴$\frac{DN}{CM}$=$\frac{BN}{BM}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x}{4}$=$\frac{6-\frac{3}{2}x}{3}$，
∴x=$\frac{16（4-\sqrt{3}）}{13}$，
∴BE=6-x=$\frac{14+16\sqrt{3}}{13}$，
∴BE=3或$\frac{14+16\sqrt{3}}{13}$，
故答案為3或$\frac{14+16\sqrt{3}}{13}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；相似三角形的對應(yīng)邊的比相等．也考查了折疊的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，學(xué)會分類討論的思想，不能漏解，屬于中考�？碱}型．