Question

16．如圖：已知拋物線y=-x²+bx+9-b²（b為常數(shù)）經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與x軸交于另一點(diǎn)A．其頂點(diǎn)M在第一象限．點(diǎn)B（1，n）在這條拋物線上．
（1）求B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P在線段OA上，從O點(diǎn)出發(fā)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過P點(diǎn)作x軸的垂線，與直線OB交于點(diǎn)E，延長PE到點(diǎn)D，使得ED=PE，以PD為斜邊，在PD右側(cè)作等腰直角三角形PCD（當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，C點(diǎn)、D點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)）．當(dāng)?shù)妊�直角三角形PCD的頂點(diǎn)C落在此拋物線上時(shí)，求OP的長；
（3）設(shè)點(diǎn)F是該拋物線上位于x軸上方，且在其對稱軸左側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)；過點(diǎn)F作x軸的平行線交該拋物線于另一點(diǎn)G，再作FQ⊥x軸于點(diǎn)Q．GN⊥x軸于點(diǎn)N．求矩形FQNG的周長的最大值，并寫出此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由拋物線y=-x²+bx+9-b²（b為常數(shù)）經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，可得出關(guān)于b的一元二次方程，解方程可得出b=±3，再由拋物線的頂點(diǎn)在第一象限，可確定b的值為3，由此可得出拋物線的解析式，將x=1代入拋物線解析式即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出直線OB的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，2m），由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3m，2m），將其代入拋物線解析式可求出m的值，由此可得出OP的長；
（3）設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（n，-n²+3n）（0＜n＜$\frac{3}{2}$），則G點(diǎn)坐標(biāo)為（3-n，-n²+3n），Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，0），根據(jù)F、G、Q點(diǎn)的坐標(biāo)即可用含n的代數(shù)式表示出矩形FQNG的長和寬，結(jié)合矩形的周長公式可得出周長C關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+9-b²（b為常數(shù)）經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，
∴9-b²=0，解得：b=-3，或b=3．
∵拋物線的對稱軸為x=-$\frac{2×（-1）}$=$\frac{2}$，頂點(diǎn)M在第一象限，
∴b=3，
∴拋物線的解析式為y=-x²+3x．
∵點(diǎn)B（1，n）在這條拋物線上，
∴n=-1+3=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2）．
（2）設(shè)直線OB的解析式為y=kx，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），
∴有2=k，
即直線OB的解析式為y=2x．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，2m）．
∵三角形PCD為等腰直角三角形，
∴PE=EC=2m，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3m，2m）．
∵點(diǎn)C在拋物線y=-x²+3x上，
∴有2m=-9m²+9m，
解得：m=0（舍去），或m=$\frac{7}{9}$．
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{7}{9}$，0），
故OP的長度為$\frac{7}{9}$．
（3）拋物線y=-x²+3x的對稱軸為x=-$\frac{3}{2×（-1）}$=$\frac{3}{2}$．
設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（n，-n²+3n）（0＜n＜$\frac{3}{2}$），則G點(diǎn)坐標(biāo)為（3-n，-n²+3n），Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，0）．
∴FQ=-n²+3n，F(xiàn)G=3-n-n，
矩形FQNG的周長C=2（FQ+FG）=2（-n²+3n+3-2n）=-2n²+2n+6=-2$（n-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{13}{2}$．
∴當(dāng)n=$\frac{1}{2}$時(shí)，矩形FQNG的周長取最大值$\frac{13}{2}$，此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)以及矩形的周長公式，解題的關(guān)鍵是：（1）求出b的值；（2）用含m的代數(shù)式表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）找出周長C關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由數(shù)量關(guān)系找出關(guān)于點(diǎn)的坐標(biāo)中的未知數(shù)的方程，解方程來確定點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵．