Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=k₁x+b與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，與反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的圖象在第一象限交于點(diǎn)A（3，1），連接OA．
（1）求反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的解析式；
（2）若S_△AOB：S_△BOC=1：2，求直線y=k₁x+b的解析式．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中，得出關(guān)于k₂的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論；
（2）分兩種情況考慮：①直線y=k₁x+b經(jīng)過第一、三、四象限，由S_△AOB：S_△BOC=1：2結(jié)合三角形的面積公式得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法即可求出此時(shí)直線的函數(shù)解析式；②直線y=k₁x+b經(jīng)過第一、二、四象限，由S_△AOB：S_△BOC=1：2結(jié)合三角形的面積公式得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法即可求出此時(shí)直線的函數(shù)解析式．

解答 解：（1）將點(diǎn)A（3，1）代入到y(tǒng)=$\frac{{k}_{2}}{x}$中，得1=$\frac{{k}_{2}}{3}$，
解得：k₂=3．
故反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{3}{x}$．
（2）符合題意有兩種情況：
①直線y=k₁x+b經(jīng)過第一、三、四象限，如圖1所示．

∵S_△AOB：S_△BOC=1：2，點(diǎn)A（3，1），
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-2）．
則有$\left\{\begin{array}{l}{-2=b}\\{1=3{k}_{1}+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
∴直線的解析式為y=x-2．
②直線y=k₁x+b經(jīng)過第一、二、四象限，如圖2所示．

∵S_△AOB：S_△BOC=1：2，點(diǎn)A（3，1），
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）．
則有$\left\{\begin{array}{l}{1=3{k}_{1}+b}\\{2=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{1}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴直線的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+2．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)的問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中得到關(guān)于k₂的一元一次方程；（2）分兩種情況分別求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．