Question

如圖，∠BAD=∠CAE=90o，AB=AD，AE=AC，AF⊥CF，垂足為F．

（1）若AC=10，求四邊形ABCD的面積；

（2）求證：AC平分∠ECF；

（3）求證：CE=2AF ．

Answer 1

（1）50；（2）（3）見解析．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)∠BAD=∠CAE得出∠BAC=∠EAD，根據(jù)AB=AD，AC=AE得出△ABC和△ADE全等，將四邊形ABCD的面積轉(zhuǎn)化成△ACE的面積進(jìn)行計(jì)算；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠ACE=∠E=45°，根據(jù)全等得出∠ACF=∠E=45°，從而說明角平分線；（3）過點(diǎn)A作AG⊥CE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到AF=AG，根據(jù)等腰直角三角形斜邊上的高的性質(zhì)得出CE=2AG，則可以說明CE=2AF．

試題解析：（1）∵∠BAD=∠CAE=90o，∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD ∴∠BAC=∠EAD

又∵AB=AD，AC=AE ∴△ABC≌△ADE（SAS）

∵ ∴=+==×=50．

（2）證明：∵△ACE是等腰直角三角形，∴∠ACE=∠AEC=45°，

由△ABC≌△ADE得：∠ACB=∠AEC=45°， ∴∠ACB=∠ACE， ∴AC平分∠ECF．

（3）證明：過點(diǎn)A作AG⊥CD，垂足為點(diǎn)G． ∵AC平分∠ECF，AF⊥CB， ∴AF=AG，

又∵AC=AE， ∴∠CAG=∠EAG=45o， ∴∠CAG=∠EAG=∠ACE=∠AEC=45o，

∴CG=AG=GE， ∴CE=2AG， ∴CE=2AF．

考點(diǎn)：三角形全等的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)．

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：三角形 （1）三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．
組成三角形的線段叫做三角形的邊．
相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn)．
相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角．
（2）按邊的相等關(guān)系分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等邊三角形）．
（3）三角形的主要線段：角平分線、中線、高．
（4）三角形具有穩(wěn)定性． 試題屬性

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