Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-$\frac{1}{2}$x+b（b＞0）分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)．以O(shè)D為一邊在x軸上方作直角梯形ODEF，ED垂直于x軸，OD=8，ED=2，EF=4．設(shè)直角梯形ODEF與△ABO重疊部分的面積為S．
（1）寫出直線OF對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式，并求出直線AB與直線OF交點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)b值由小到大變化時(shí)，求s用b表示的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若在直線y=-$\frac{1}{2}$x+b（b＞0）上存在點(diǎn)Q，使∠OQD=90°，請(qǐng)直接寫出b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角梯形，可得F點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得OF的解析式；根據(jù)解方程組，可得C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）分類討論：①當(dāng)AB與OF有交點(diǎn)時(shí)，即0＜b≤4時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式，可得函數(shù)解析式；②當(dāng)AB與EF有交點(diǎn)時(shí)，即4＜b≤6，根據(jù)面積的和差，可得函數(shù)解析式；③當(dāng)b＞6時(shí)，根據(jù)梯形面積公式，可得答案；
（3）根據(jù)以圓的直徑為邊的三角形是直角三角形，可得直線AB與⊙C相切，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離等于半徑，可得關(guān)于b的方程，根據(jù)解方程，可得b的值，根據(jù)b的值，可得b的取值范圍．

解答 解：（1）由在x軸上方作直角梯形ODEF，ED垂直于x軸，OD=8，ED=2，EF=4，得
A（8，0），E（8，2），F(xiàn)（4，2）．
設(shè)OF的解析式為y=kx，將F點(diǎn)坐標(biāo)代入，得
4k=2．解得k=$\frac{1}{2}$，
OF的解析式為y=$\frac{1}{2}$x，
聯(lián)立OF與AB，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+b}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=b}\\{y=\frac{2}}\end{array}\right.$，
F點(diǎn)的坐標(biāo)為（b，$\frac{2}$）；
（2）①當(dāng)AB與OF有交點(diǎn)時(shí)，即0＜b≤4時(shí)，如圖1，
當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{1}{2}$x+b=0，解得x=2b，即A（2b，0），
重疊的面積為S_△OAC=$\frac{1}{2}$OA•y_C=$\frac{1}{2}$×2b×$\frac{2}$=$\frac{^{2}}{2}$；
②當(dāng)AB與EF有交點(diǎn)時(shí)，即4＜b≤6，如圖2，
當(dāng)y=2時(shí)，-$\frac{1}{2}$x+b=2，解得x=2b-4，即C（2b-4，2），
CE=8-（2b-4）=12-2b；
當(dāng)x=8時(shí)，y=b-4，即G（8，b-4），
EG=2-（b-4）=6-b，
重疊部分的面積是S_{五邊形ODGCF}=S_梯形ODEF-S_△ECG
=$\frac{1}{2}$（4+8）×2-$\frac{1}{2}$•CE•GE
=12-$\frac{1}{2}$（12-2b）（6-b）
=-b²+12b-24，
③當(dāng)b＞6時(shí)，S_梯形ODEF=$\frac{1}{2}$×（4+8）×2=12；
綜上所述：S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{^{2}}{2}（0＜b≤4）}\\{-^{2}+12b-24（4＜b≤6）}\\{12（b＞6）}\end{array}\right.$；
（3）如圖3，
圓心C（4，0），
AB與圓C相切時(shí)，C到直線AB的距離，得
$\frac{|4×\frac{1}{2}-b|}{\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+{1}^{2}}}$=4，
解得b=2-2$\sqrt{5}$（不符合題意，舍），b=2+2$\sqrt{5}$，
當(dāng)0＜b≤2+2$\sqrt{5}$時(shí)，在直線y=-$\frac{1}{2}$x+b（b＞0）上存在點(diǎn)Q，使∠OQD=90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)綜合題，（1）利用了直角梯形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）利用面積的和差是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏；（3）利用以圓的直徑為邊的三角形是直角三角形得出直線AB與⊙C相切是解題關(guān)鍵，又利用了點(diǎn)到直線的距離．