Question

已知：在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中點，DM⊥BC交AC于點E，交BA的延長線于點D，求證：
（1）MA²=MD•ME；
（2）

AE2

AD2

=

ME

MD

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可以求出∠D=∠C，AM=CM，就可以求出∠D=∠MAE，就可以求出△EMA∽△AMD，得出

MA

MD

=

EM

MA

而得出結(jié)論；
（2）根據(jù)△EMA∽△AMD就可以得出

AE

AD

=

EM

AM

=

AM

MD

，就可以得出結(jié)論．

解答：證明：（1）∵DM⊥BC，
∴∠BMD=90°，
∴∠B+∠D=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠D=∠C．
∵M(jìn)是BC的中點，
∴AM=MC=

1

2

BC，
∴∠MAE=∠C．
∴∠MAE=∠D．
∵∠AME=∠AMD，
∴△EMA∽△AMD，
∴

MA

MD

=

EM

MA

，
∴MA²=MD•ME；
（2）∵△EMA∽△AMD，
∴

AE

AD

=

EM

AM

=

AM

MD

，
∴

AE

AD

=

EM

AM

，

AE

AD

=

AM

MD

，
∴

AE

AD

•

AE

AD

=

EM

AM

•

AM

MD

，
∴

AE2

AD2

=

ME

MD

．

點評：本題考查了中點的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，直角三角形的性質(zhì)的運用，解答時證明三角形相似是關(guān)鍵．