Question

8．正比例函數(shù)y=2x的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC垂直x軸于點(diǎn)C，連接BC．若△ABC的面積為2．
（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式；
（2）x軸上是否存在一點(diǎn)D，使△ABD為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先由正比例函數(shù)y=2x的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交于A、B兩點(diǎn)，可得O為線段AB的中點(diǎn)，然后由反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的比例系數(shù)k的幾何意義，可知△AOC的面積等于$\frac{1}{2}$|k|，從而求出k的值；
（2）先將y=2x與y=$\frac{2}{x}$聯(lián)立成方程組，求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分三種情況討論：①當(dāng)AD⊥AB時；②當(dāng)BD⊥AB時；③當(dāng)AD⊥BD時，去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，
∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴OA=OB，
∴△BOC的面積=△AOC的面積=2÷2=1，
又∵A是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象上的點(diǎn)，且AC⊥x軸于點(diǎn)C，
∴△AOC的面積=$\frac{1}{2}$|k|，
∴$\frac{1}{2}$|k|=1，
∵k＞0，
∴k=2．
故這個反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{2}{x}$；

（2）x軸上存在一點(diǎn)D，使△ABD為直角三角形．
將y=2x與y=$\frac{2}{x}$聯(lián)立成方程組得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$，
∴A（1，2），B（-1，-2），
①當(dāng)AD⊥AB時，如圖1，
設(shè)直線AD的關(guān)系式為y=-$\frac{1}{2}$x+b，
將A（1，2）代入上式得：b=$\frac{5}{2}$，
∴直線AD的關(guān)系式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，
令y=0得：x=5，
∴D（5，0）；
②當(dāng)BD⊥AB時，如圖2，
設(shè)直線BD的關(guān)系式為y=-$\frac{1}{2}$x+b，
將B（-1，-2）代入上式得：b=-$\frac{5}{2}$，
∴直線AD的關(guān)系式為y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$，
令y=0得：x=-5，
∴D（-5，0）；
③當(dāng)AD⊥BD時，如圖3，
∵O為線段AB的中點(diǎn)，
∴OD=$\frac{1}{2}$AB=OA，
∵A（1，2），
∴OC=1，AC=2，
由勾股定理得：OA=$\sqrt{O{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴OD=$\sqrt{5}$，
∴D（$\sqrt{5}$，0）．
根據(jù)對稱性，當(dāng)D為直角頂點(diǎn)，且D在x軸負(fù)半軸時，D（-$\sqrt{5}$，0）．
故x軸上存在一點(diǎn)D，使△ABD為直角三角形，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，0）或（-5，0）或（$\sqrt{5}$，0）或（-$\sqrt{5}$，0）．

點(diǎn)評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題．考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題以及待定系數(shù)法求解析式．注意掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．