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【題目】已知銳角△ABC內接于O,ADBC于點D,連接AO

1)如圖1,求證:∠BAO=∠CAD;

2)如圖2,CEAB于點E,交AD于點F,過點OOHBC于點H,求證:AF2OH

3)如圖3,在(2)的條件下,若AFAO,tanBAO,BC,求AC的長.

【答案】1)詳見解析;(2)詳見解析;+3

【解析】

1)延長AO⊙OK,連接BK.利用等角的余角相等證明即可.

2)延長CO⊙OM,連接AM,BM,連接BF.證明四邊形AMBF是平行四邊形,BM2OH即可解決問題.

3)延長CO⊙OM,連接AMBM,連接BF.證明∠BAO=∠DAC=∠DBF,推出tanDBFtanBAP,設DFx,則BD3xCD23x,AD69xAFBM610x,構建方程即可解決問題.

1)證明:延長AO⊙OK,連接BK

AK是直徑,

∴∠ABK90°,

ADBC,

∴∠ADC90°,

∵∠BAO+K90°,∠DAC+C90°,∠K=∠C,

∴∠BAO=∠DAC

2)證明:延長CO⊙OM,連接AMBM,連接BF

CM是直徑,

∴∠CBM=∠MAC90°,

OHBC,

BHCH,∠OHC=∠CBM90°,

ADBM,

OCOM

BM2OH,

ADBC,CAAB,

BFAC,∵AAC

AMBF,

∴四邊形AMBF是平行四邊形,

AFBM,

AF2OH

3)解:延長CO⊙OM,連接AM,BM,連接BF

由(2)可知,四邊形AMBF是平行四邊形,

AFBM,

OAAF,

BMOA

CM2BM,

∵∠CBM90°,

∴∠BCM30°,

∵∠BAO=∠DAC=∠DBF,

tanDBFtanBAP,設DFx,則BD3xCD23x,AD69x,AFBM610x

BC2,

BMBCtan30°=2,

610x2,

x,

AC+3

練習冊系列答案
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