Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，以點A（0，-3）為圓心，5為半徑作圓A，交x軸于B、C兩點，交y軸于D、E兩點．
（1）如果一個二次函數(shù)圖象經(jīng)過B、C、D三點，求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，0）（m＞5），過點P作PQ⊥x軸交（1）中的拋物線于點Q，當(dāng)以O(shè)、C、D為頂點的三角形與△PCQ相似時，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）連接AC，
∵以點A（0，-3）為圓心，5為半徑作圓A，交x軸于B、C兩點，交y軸于D、E兩點．
∴AC=5、AO=3，
∴由勾股定理得：OC=OB=4
∴點B的坐標(biāo)為（-4，0），點C的坐標(biāo)為（4，0），點D的坐標(biāo)為（0，2）．
∵對稱軸為y軸，
∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+c
∴
解得：
∴經(jīng)過B、C、D三點的二次函數(shù)的解析式為；
（2）∵P的坐標(biāo)為（m，0）（m＞5），
∴Q點的坐標(biāo)為（m，-m²+2）
∴PC=m-4 PQ=m²-2，
∵以O(shè)、C、D為頂點的三角形與△PCQ相似，
①當(dāng)△ODC∽△PCQ時，
∴=
即：=
解得：m=12或m=4（因m＞5，故舍去）
②當(dāng)△OCD∽△PCQ時，
∴=
即：=
解得：m=0或4（因m＞5，故舍去）
∴P點的坐標(biāo)為：（12，0）．
分析：（1）利用垂徑定理求得線段OB和OC的長，從而求得B、C兩點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式即可；
（2）作出圖形利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例列出有關(guān)未知數(shù)m的方程求解即可．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定及垂徑定理的應(yīng)用．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．