如圖1,已知拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),B(-3,0)兩點(diǎn),且與y軸交于點(diǎn)C.
(1) 求b,c的值。
(2)在第二象限的拋物線上,是否存在一點(diǎn)P,使得△PBC的面積最大?求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值.若不存在,請說明理由.
(3) 如圖2,點(diǎn)E為線段BC上一個動點(diǎn)(不與B,C重合),經(jīng)過B、E、O三點(diǎn)的圓與過點(diǎn)B且垂直于BC的直線交于點(diǎn)F,當(dāng)△OEF面積取得最小值時,求點(diǎn)E坐標(biāo).
(1) ;(2)點(diǎn)P坐標(biāo)為(,),最大=;(3) (,) .
【解析】
試題分析:(1)將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出;
(2)假設(shè)存在一點(diǎn)P(x,),則△PBC的面積可表示為.從而可求出△PBC的面積最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)根據(jù)題意易證,所以,當(dāng)OE最小時,△OEF面積取得最小值,點(diǎn)E在線段BC上, 所以當(dāng)OE⊥BC時,OE最小此時點(diǎn)E是BC中點(diǎn),因此 E(,) .
試題解析:(1) b=-2,c= 3
(2)存在。理由如下:
設(shè)P點(diǎn)
∵
當(dāng)時, ∴最大=
當(dāng)時,
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(,)
(3)∵∴,而, ,
∴, ∴
∴
∴當(dāng)最小時,面積取得最小值.
∵點(diǎn)在線段上, ∴當(dāng)時,最小.
此時點(diǎn)E是BC中點(diǎn)
∴ (,).
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