如圖1,已知拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),B(-3,0)兩點(diǎn),且與y軸交于點(diǎn)C.

(1) 求b,c的值。

(2)在第二象限的拋物線上,是否存在一點(diǎn)P,使得△PBC的面積最大?求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值.若不存在,請說明理由.

(3) 如圖2,點(diǎn)E為線段BC上一個動點(diǎn)(不與B,C重合),經(jīng)過B、E、O三點(diǎn)的圓與過點(diǎn)B且垂直于BC的直線交于點(diǎn)F,當(dāng)△OEF面積取得最小值時,求點(diǎn)E坐標(biāo).

 

 

【答案】

(1) ;(2)點(diǎn)P坐標(biāo)為(,),最大=;(3) (,)  .

【解析】

試題分析:(1)將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出;

(2)假設(shè)存在一點(diǎn)P(x,),則△PBC的面積可表示為.從而可求出△PBC的面積最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)根據(jù)題意易證,所以,當(dāng)OE最小時,△OEF面積取得最小值,點(diǎn)E在線段BC上,  所以當(dāng)OE⊥BC時,OE最小此時點(diǎn)E是BC中點(diǎn),因此 E(,)  .

試題解析:(1)  b=-2,c= 3

(2)存在。理由如下:

設(shè)P點(diǎn)

當(dāng)時,       ∴最大= 

當(dāng)時,

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(,)

(3)∵,而, ,

, ∴ 

 

∴當(dāng)最小時,面積取得最小值.

∵點(diǎn)在線段上,  ∴當(dāng)時,最小.

此時點(diǎn)E是BC中點(diǎn)

 (,).

 

練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,已知拋物線的頂點(diǎn)為A(0,1),矩形CDEF的頂點(diǎn)C、F在拋物線上,點(diǎn)D、E在x軸上,CF交y軸于點(diǎn)B(0,2),且其面積為8:
(1)此拋物線的解析式;
(2)如圖2,若點(diǎn)P為所求拋物線上的一動點(diǎn),試判斷以點(diǎn)P為圓心,PB為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系,并說明理由.
(3)如圖2,設(shè)點(diǎn)P在拋物線上且與點(diǎn)A不重合,直線PB與拋物線的另一個交點(diǎn)為Q,過點(diǎn)P、Q分別作x軸的垂線,垂足分別為N、M,連接PO、QO.求證:△QMO∽△PNO.
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如圖1,已知拋物線y=-x2+b x+c經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),B(-3,0)兩點(diǎn),且與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求b,c的值.
(2)在第二象限的拋物線上,是否存在一點(diǎn)P,使得△PBC的面積最大?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值;若不存在,請說明理由.
(3)如圖2,點(diǎn)E為線段BC上一個動點(diǎn)(不與B,C重合),經(jīng)過B、E、O三點(diǎn)的圓與過點(diǎn)B且垂直于BC的直線交于點(diǎn)F,當(dāng)△OEF面積取得最小值時,求點(diǎn)E坐標(biāo).

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(2013•南沙區(qū)一模)如圖1,已知拋物線y=
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x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,且OB=2OA=4.
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)P是(1)中拋物線上的一個動點(diǎn),以P為圓心,R為半徑作⊙P,求當(dāng)⊙P與拋物線的對稱軸l及x軸均相切時點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)動點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動,動點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā),以每秒
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個單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動,過點(diǎn)E作EG∥y軸,交AC于點(diǎn)G(如圖2).若E、F兩點(diǎn)同時出發(fā),運(yùn)動時間為t.則當(dāng)t為何值時,△EFG的面積是△ABC的面積的
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如圖1,已知拋物線y=ax2-2ax+b經(jīng)過梯形OABC的四個頂點(diǎn),若BC=10,梯形OABC的面積為18.
(1)求拋物線解析式;
(2)將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時向上平移,平移后的兩條直線分別交拋物線于點(diǎn)O1、A1、C1、B1,得到如圖2的梯形O1A1B1C1.設(shè)梯形O1A1B1C1的面積為S,A1、B1的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2).用含S的代數(shù)式表示x2-x1,并求出當(dāng)S=36時點(diǎn)A1的坐標(biāo);
(3)如圖3,設(shè)圖1中點(diǎn)D坐標(biāo)為(1,3),M為拋物線的頂點(diǎn),動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿著線段BC運(yùn)動,動點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā),以與點(diǎn)P相同的速度沿著線段DM運(yùn)動.P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā),當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)M時,P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動.設(shè)P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動時間為t,是否存在某一時刻t,使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似?若存在,請求出t的值;若不存在,請說明理由.

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如圖1,已知拋物線的頂點(diǎn)為A(O,1),矩形CDEF的頂點(diǎn)C、F在拋物線上,D、E在x軸上,CF交y軸于點(diǎn)B(0,2),且其面積為8.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)如圖2,若P點(diǎn)為拋物線上不同于A的一點(diǎn),連接PB并延長交拋物線于點(diǎn)Q,過點(diǎn)P、Q分別作x軸的垂線,垂足分別為S、R.
①求證:PB=PS;
②判斷△SBR的形狀.

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