Question

如圖1，已知拋物線y=－x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（1,0），B（－3,0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C.

(1) 求b，c的值。

(2)在第二象限的拋物線上，是否存在一點(diǎn)P，使得△PBC的面積最大？求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值.若不存在，請說明理由.

(3) 如圖2，點(diǎn)E為線段BC上一個動點(diǎn)（不與B,C重合），經(jīng)過B、E、O三點(diǎn)的圓與過點(diǎn)B且垂直于BC的直線交于點(diǎn)F，當(dāng)△OEF面積取得最小值時，求點(diǎn)E坐標(biāo)．

 

 

Answer 1

【答案】

(1) ；（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為(，)，最大＝；（3） (，)  .

【解析】

試題分析：(1)將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出；

(2)假設(shè)存在一點(diǎn)P（x，），則△PBC的面積可表示為.從而可求出△PBC的面積最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)根據(jù)題意易證，所以，當(dāng)OE最小時，△OEF面積取得最小值，點(diǎn)E在線段BC上,  所以當(dāng)OE⊥BC時，OE最小此時點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，因此 E(，)  .

試題解析：(1)  b=－2，c= 3

(2)存在。理由如下：

設(shè)P點(diǎn)

∵

當(dāng)時，       ∴最大＝ 

當(dāng)時，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(，)

(3)∵∴,而, ,

∴, ∴ 

∴ 

∴當(dāng)最小時，面積取得最小值.

∵點(diǎn)在線段上,  ∴當(dāng)時，最小.

此時點(diǎn)E是BC中點(diǎn)

∴ (，).