Question

如圖，∠ABC=90°，AB=BC．
（1）畫四邊形ABCD，使AD＞CD，且∠ADC=90°，再畫點(diǎn)B到AD的垂線段BE，垂足為E．
（2）在四條線段AE，BE，CD，DE中，某些線段之間存在一定的數(shù)量關(guān)系．請你寫出兩個等式分別表示這些數(shù)量關(guān)系（每個等式中含有其中的2條或3條線段），并任選一個等式說明等式成立的理由．

Answer 1

分析：（1）連接AC，作出以AC為直徑的⊙O，然后⊙O上選擇使AD＞CD的一點(diǎn)，連接AD、CD，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可知∠ADC=90°；以點(diǎn)B為圓心，以任意長為半徑畫弧，與AD相交于兩點(diǎn)，再以這兩點(diǎn)為圓心，以大于它們

1

2

長度為半徑畫弧，相交于一點(diǎn)，然后過這點(diǎn)與點(diǎn)B作線段BE即可；
（2）過點(diǎn)C作CF⊥BE于點(diǎn)F，先根據(jù)直角的關(guān)系得到∠ABE=∠BCF，然后利用角邊角證明△BFC與△AEB全等，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=CF，AE=BF，又四邊形CDEF為矩形，根據(jù)矩形的對邊相等，然后結(jié)合圖形即可得到線段之間的關(guān)系．

解答：解：（1）如圖所示；

（2）DE=BE，BE-CD=AE．
理由如下：
過點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為F，
∴∠BCF+∠CBE=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠ABE=∠BCF，
在△BFC與△AEB中，

∠ABE=∠BCF ∠AEB=∠BFC=90° AB=BC

，
∴△BFC≌△AEB（AAS），
∴BE=CF，AE=BF，
又∵BE⊥AD，∠ADC=90°，CF⊥BE，
∴四邊形CDEF是矩形，
∴DE=CF，EF=CD，
∴①DE=BE，
②又∵BE-EF=BF，
∴BE-CD=AE．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意想到四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形并作出四邊形的外接圓是解題的關(guān)鍵．