Question

【題目】如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BCD=120°，CA平分∠BCD．

（1）求證：△ABD是等邊三角形；

（2）若BD=3，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）因?yàn)?/span>AC平分∠BCD，∠BCD＝120°，根據(jù)角平分線的定義得：∠ACD＝∠ACB＝60°，根據(jù)同弧所對的圓周角相等，得∠ACD＝∠ABD，∠ACB＝∠ADB，∠ABD＝∠ADB＝60°.根據(jù)三個角是60°的三角形是等邊三角形得△ABD是等邊三角形.（2）作直徑DE，連結(jié)BE，由于△ABD是等邊三角形，則∠BAD＝60°，由同弧所對的圓周角相等，得∠BED＝∠BAD＝60°.根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得，∠EBD＝90°，則∠EDB＝30°，進(jìn)而得到DE＝2BE.設(shè)EB＝x，則ED＝2x，根據(jù)勾股定理列方程求解即可.

解：（1）∵∠BCD=120°，CA平分∠BCD，

∴∠ACD=∠ACB=60°，

由圓周角定理得，∠ADB=∠ACB=60°，∠ABD=∠ACD=60°，

∴△ABD是等邊三角形；

（2）連接OB、OD，作OH⊥BD于H，

則DH=BD=，

∠BOD=2∠BAD=120°，

∴∠DOH=60°，

在Rt△ODH中，OD==，

∴⊙O的半徑為．