Question

已知點(diǎn)A（8，0）及在第一象限的動點(diǎn)P（x，y），且x+y=10，設(shè)△OPA的面積為S．
（1）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）求S=12時P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，設(shè)點(diǎn)Q為y軸上一動點(diǎn)，當(dāng)PQ+AQ的值最小時，求Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）首先把x+y=10，變形成y=10-x，再利用三角形的面積求法：底×高÷2=S，可以得到S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；P在第一象限，故x＞0，再利用三角形的面積S＞0，可得到x的取值范圍；
（2）把S=12代入函數(shù)解析式即可；
（3）根據(jù)題意畫出圖象，作出A的對稱點(diǎn)A′，連接PA′，此時PA′與y軸交于點(diǎn)Q，此時PQ+AQ的值最小，進(jìn)而求出即可．

解答：解：（1）∵x+y=10
∴y=10-x，
∴s=8（10-x）÷2=40-4x，
∵40-4x＞0，
∴x＜10，
∴0＜x＜10，

（2）∵s=12，
∴12=40-4x，
x=7
∴y=10-7=3，
∴s=12時，P點(diǎn)坐標(biāo)（7，3），

（3）畫出函數(shù)S的圖形如圖所示．
作出A的對稱點(diǎn)A′，連接PA′，此時PA′與y軸交于點(diǎn)Q，此時PQ+AQ的值最小，
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），
∴A′（-8，0），
∴將（-8，0），（7，3）代入y=kx+b，
∴

0=-8k+b 3=7k+b

，
解得：

k= 1 5 b= 8 5

，
∴y=

1

5

x+

8

5

，
∴x=0時，y=

8

5

，
當(dāng)PQ+AQ的值最小時，Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，

8

5

）．

點(diǎn)評：此題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及畫一次函數(shù)的圖象和最短路線求法，解題時一定要注意自變量的取值范圍．