Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）和B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)D為頂點(diǎn)，連接BD、CD、BC．

（1）求二次函數(shù)解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P為線段BD上一點(diǎn)，若S△BCP= ，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M為拋物線上一點(diǎn)，作MN⊥CD，交直線CD于點(diǎn)N，若∠CMN=∠BDE，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（﹣1，0）和B（3，0）兩點(diǎn)代入拋物線y=x2+bx+c中得：

，解得： ，

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴D（1，﹣4）

（2）解：C（0，﹣3），由勾股定理得：BC2=32+32=18，

CD2=12+（4﹣3）2=2，

BD2=（3﹣1）2+42=20，

∴CD2+BC2=BD2，

即∠BCD=90°，

∴△BCD是直角三角形；

∴S△BCD=3

由S△BCP= ，

∴P為BD中點(diǎn)．

∴P（2，﹣2）

（3）解：∵∠CMN=∠BDE，

∴tan∠BDE=tan∠CMN= = ，

∴ = ，

同理得：CD的解析式為：y=﹣x﹣3，

設(shè)N（a，﹣a﹣3），M（x，x2﹣2x﹣3），

①如圖2，過(guò)N作GF∥y軸，過(guò)M作MG⊥GF于G，過(guò)C作CF⊥GF于F，

則△MGN∽△NFC，

∴ =2，

∴ = =2，

則 ，

∴x1=0（舍），x2=5，

當(dāng)x=5時(shí)，x2﹣2x﹣3=12，

∴M（5，12），

②如圖3，過(guò)N作FG∥x軸，交y軸于F，過(guò)M作MG⊥GF于G，

∴△CFN∽△NGM，

∴ = ，

∴ = = ，則

∴x1=0（舍），x2= ，

當(dāng)x= 時(shí)，y=x2﹣2x﹣3=﹣ ，

∴M（ ，﹣ ），

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)（5，12）或（ ，﹣ ）．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論，進(jìn)而配成頂點(diǎn)式，得出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先利用勾股定理逆定理判斷出△BCD是直角三角形，進(jìn)而判斷出點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，即可得出結(jié)論；
（3）先求出CD的解析式，再分點(diǎn)N在線段CD上和CD的延長(zhǎng)線上，構(gòu)造相似三角形即可得出結(jié)論。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了確定一次函數(shù)的表達(dá)式和勾股定理的逆定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法；如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有下面關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形才能正確解答此題．