【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(﹣1,0)和B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)D為頂點(diǎn),連接BD、CD、BC.

(1)求二次函數(shù)解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)點(diǎn)P為線段BD上一點(diǎn),若SBCP= ,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)M為拋物線上一點(diǎn),作MN⊥CD,交直線CD于點(diǎn)N,若∠CMN=∠BDE,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】
(1)解:把A(﹣1,0)和B(3,0)兩點(diǎn)代入拋物線y=x2+bx+c中得:

,解得: ,

∴拋物線的解析式為:y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,

∴D(1,﹣4)


(2)解:C(0,﹣3),由勾股定理得:BC2=32+32=18,

CD2=12+(4﹣3)2=2,

BD2=(3﹣1)2+42=20,

∴CD2+BC2=BD2,

即∠BCD=90°,

∴△BCD是直角三角形;

∴SBCD=3

由SBCP= ,

∴P為BD中點(diǎn).

∴P(2,﹣2)


(3)解:∵∠CMN=∠BDE,

∴tan∠BDE=tan∠CMN= = ,

=

同理得:CD的解析式為:y=﹣x﹣3,

設(shè)N(a,﹣a﹣3),M(x,x2﹣2x﹣3),

①如圖2,過(guò)N作GF∥y軸,過(guò)M作MG⊥GF于G,過(guò)C作CF⊥GF于F,

則△MGN∽△NFC,

=2,

= =2,

,

∴x1=0(舍),x2=5,

當(dāng)x=5時(shí),x2﹣2x﹣3=12,

∴M(5,12),

②如圖3,過(guò)N作FG∥x軸,交y軸于F,過(guò)M作MG⊥GF于G,

∴△CFN∽△NGM,

= ,

= = ,則

∴x1=0(舍),x2= ,

當(dāng)x= 時(shí),y=x2﹣2x﹣3=﹣ ,

∴M( ,﹣ ),

綜上所述,點(diǎn)M的坐標(biāo)(5,12)或( ,﹣ ).


【解析】(1)利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論,進(jìn)而配成頂點(diǎn)式,得出頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)先利用勾股定理逆定理判斷出△BCD是直角三角形,進(jìn)而判斷出點(diǎn)P是BD的中點(diǎn),即可得出結(jié)論;
(3)先求出CD的解析式,再分點(diǎn)N在線段CD上和CD的延長(zhǎng)線上,構(gòu)造相似三角形即可得出結(jié)論。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了確定一次函數(shù)的表達(dá)式和勾股定理的逆定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握確定一個(gè)一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法;如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有下面關(guān)系:a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形才能正確解答此題.

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(2)設(shè)后來(lái)該商品每件降價(jià)x元,商場(chǎng)一天可獲利潤(rùn)y元.
①若商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)該商品一天要獲利潤(rùn)2160元,則每件商品應(yīng)降價(jià)多少元?
②求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫(xiě)出當(dāng)x取何值時(shí),商場(chǎng)獲利潤(rùn)不少于2160元.

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(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.
(3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,求測(cè)試結(jié)果為“良好”等級(jí)所對(duì)應(yīng)圓心角的度數(shù).
(4)若該學(xué)校七年級(jí)共有600名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)該學(xué)校七年級(jí)學(xué)生中測(cè)試結(jié)果為“不及格”等級(jí)的學(xué)生有多少名?
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當(dāng)時(shí),的度數(shù)為多少,的度數(shù)為多少;的度數(shù)為多少;

當(dāng)時(shí),若,試求出t的值;

當(dāng)時(shí),探究的值,問(wèn):t滿足怎樣的條件是定值;滿足怎樣的條件不是定值?

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(3)連結(jié)CE,寫(xiě)出AE, BE, CE之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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