Question

如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四邊形ABCD的面積是49cm²，則AC長(zhǎng)是

 

cm．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：過A作AE⊥BC，作AF⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，利用三個(gè)角為直角的四邊形為矩形得到AECF為矩形，利用矩形的四個(gè)角為直角得到∠EAF為直角，利用等式的性質(zhì)得到∠DAF=∠BAE，再由一對(duì)直角相等，AB=AD，利用AAS得到三角形ABE與三角形ADF全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AE=AF，可得出AECF為正方形，三角形ABE面積與三角形AFD面積相等，進(jìn)而得到四邊形ABCD面積等于正方形AECF面積，求出正方形的邊長(zhǎng)即為AE的長(zhǎng)，在等腰直角三角形ACE中，利用勾股定理即可求出AC的長(zhǎng)

解答： 解：過A作AE⊥BC，作AF⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
∵∠AEC=∠AFC=∠ECF=90°，
∴四邊形AECF為矩形，
∴∠EAF=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠EAD=∠FAD+∠EAD=90°，
∴∠DAF=∠BAE，
在△ABE和△ADF中，

∠AEB=∠F=90° ∠DAF=∠BAE AB=AD

，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE=AF，S_△ABE=S_△ADF，
∴四邊形AECF是正方形，
∴S_{四邊形ABCD}=S_{正方形AECF}=49cm²，
∴AE=7cm
∵△AEC為等腰直角三角形，
∴AC=

2

AE=7

2

cm．
故答案為：7

2

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．