Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx﹣3的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．該拋物線的頂點(diǎn)為M．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）判斷△BCM的形狀，并說(shuō)明理由；

（3）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCM相似？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

       解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx﹣3的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，

∴，

解得：，

則拋物線解析式為y=x²﹣2x﹣3；

（2）△BCM為直角三角形，理由為：

對(duì)于拋物線解析式y(tǒng)=x²﹣2x﹣3=（x﹣1）²﹣4，即頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，﹣4），

令x=0，得到y(tǒng)=﹣3，即C（0，﹣3），

根據(jù)勾股定理得：BC=3，BM=2，CM=，

∵BM²=BC²+CM²，

∴△BCM為直角三角形；

（3）如圖1，

連接AC，

∵△COA∽△CAP，△PCA∽△BCD，

∴Rt△COA∽R(shí)t△BCD，P點(diǎn)與O點(diǎn)重合，

∴點(diǎn)P（0，0）．

如圖2，過(guò)A作AP₁⊥AC交y軸正半軸于P₁，

∵Rt△CAP₁∽R(shí)t△COA∽R(shí)t△BCD，

∴=，

即=，

∴點(diǎn)P₁（0，）．

如圖3，過(guò)C作CP₂⊥AC交x軸正半軸于P₂，

∵Rt△P₂CA∽R(shí)t△COA∽R(shí)t△BCD，

∴=，

即=，AP₂=10，

∴點(diǎn)P₂（9，0）．

∴符合條件的點(diǎn)有三個(gè)：O（0，0），P₁（0，），P₂（9，0）．

點(diǎn)評(píng)：    此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，（3）題中能夠發(fā)現(xiàn)點(diǎn)O是符合要求的P點(diǎn)，是解決此題的突破口．