Question

2．已知拋物線y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}x$+4交x軸于點A、B，交y軸于點C，連接AC、BC．
（1）求交點A、B的坐標以及直線BC的解析式；
（2）如圖1，動點P從點B出發(fā)以每秒5個單位的速度向點O運動，過點P作y軸的平行線交線段BC于點M，交拋物線于點N，過點N作NC⊥BC交BC于點K，當△MNK與△MPB的面積比為1：2時，求動點P的運動時間t的值；
（3）如圖2，動點P 從點B出發(fā)以每秒5個單位的速度向點A運動，同時另一個動點Q從點A出發(fā)沿AC以相同速度向終點C運動，且P、Q同時停止，分別以PQ、BP為邊在x軸上方作正方形PQEF和正方形BPGH（正方形頂點按順時針順序），當正方形PQEF和正方形BPGH重疊部分是一個軸對稱圖形時，請求出此時軸對稱圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）令y=0，解方程-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}x$+4=0即可求出A、B坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線BC．
（2）如圖1中，設(shè)P（a，0），只要證明MN=PB，列出方程即可解決問題．
（3）①如圖2中，當軸對稱圖形為箏型時，列出方程求出運動時間即可，②如圖3中，當軸對稱圖形是正方形時，列出方程求出時間即可．

解答 解：（1）令y=0，則-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}x$+4=0，解得x=4或-3，
∴點A坐標（-3，0），點B坐標（4，0），
設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，把B（4，0）．C（0，4）代入
得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{4k+b+0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=-x+4．
（2）如圖1中，∵PN∥OC，NK⊥BC，
∴∠MPB=∠MKN=90°，
∵∠PMB=∠NMK，
∴△MNK∽△MPB，
∵△MNK與△MPB的面積比為1：2，
∴BM=$\sqrt{2}$MN，
∵OB=OC，
∴∠PBM=45°，
∴BM=$\sqrt{2}$PB，
∴MN=PB，設(shè)P（a，0），則MN=-$\frac{1}{3}$a²+$\frac{1}{3}$a+4+a-4=-$\frac{1}{3}$a²+$\frac{4}{3}$a，BP=4-a，
∴-$\frac{1}{3}$a²+$\frac{4}{3}$a=4-a，
解得a=3或4（舍棄），
∴PB=1，t=$\frac{1}{5}$．
（3）如圖2中，當軸對稱圖形為箏型時，PF=PG，GM=FM，

∵BP=PG=AQ，PQ=PF，
∴AQ=PQ=5t，
過點Q作QN⊥AP，則AN=NP，由△AQN∽△ACQ，
∴$\frac{AQ}{AC}$=$\frac{AN}{AO}$，
∴$\frac{5t}{5}$=$\frac{AN}{3}$，
∴AN=3t，
∴AP=2AN=6t，
∵AP+BP=AB，
∴5t+6t=7，
∴t=$\frac{7}{11}$，
∴PB=PF=$\frac{35}{11}$，
由△ACO∽△FPR∽△MFT，
∴$\frac{FP}{FR}$=$\frac{AC}{AO}$，
∴FR=$\frac{21}{11}$，TF=$\frac{14}{11}$，
∴$\frac{FM}{TF}$=$\frac{AC}{AO}$，
∴FM=$\frac{35}{22}$，
∴S=2×$\frac{1}{2}$×PF×FM=$\frac{1225}{242}$．
②如圖3中，當軸對稱圖形是正方形時，

3t+5t=7，
∴t=$\frac{7}{8}$，
∴S=$\frac{49}{4}$．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法其中函數(shù)解析式，學(xué)會用方程的思想思考問題，需要正確畫出圖象，考慮問題要全面，屬于中考�？碱}型．