Question

（1）如圖1，已知DE∥BC，DE平分△ABC的面積，直接寫出AD：BD=

（

2

+1）：1

；
（2）如圖2，已知DE∥FG∥BC，點D、F是線段AB的三等分點，記△ADE、四邊形DFGE和四邊形FBCG的面積分別為S₁、S₂、S₃，求S₁：S₂：S₃的值；
（3）如圖3，已知D、E、F分別位于△ABC的三邊上，且四邊形CEDF為平行四邊形，△ADF和△BDE的面積分別為4和25，求四邊形CEDF的面積．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)DE∥BC得出△ADE∽△ABC，再根據(jù)DE平分△ABC的面積得出

AD

AB

的值，故可得出結(jié)論；
（2）由點D、F是線段AB的三等分點，可得DE∥FG∥BC，AD：AF：AB=1：2：3，即可證得△ADE∽△AFG∽△ABC，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，求得S_△ADE：S_△AFG：S_△ABC的值，繼而求得答案；
（3）連接CD，先根據(jù)相似三角形的判定定理得出△AFD∽△DEB，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出

DF

BE

的值，可得出△CED的面積，進而可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE平分△ABC的面積，
∴

AD

AB

=

1 2

=

2

2

，
∴

AD

BD

=

AD

AB-AD

=

2

2- 2

=（

2

+1）：1．
故答案為：（

2

+1）：1；

（2）∵點D、F是線段AB的三等分點，
∴DE∥FG∥BC，AD：AF：AB=1：2：3，
∴△ADE∽△AFG∽△ABC，
∴S_△ADE：S_△AFG：S_△ABC=1：4：9，
∴S₁：S₂：S₃=1：3：5．

（3）連接CD，
∵四邊形CEDF為平行四邊形，
∴DE∥AC，DF∥BC，
∴∠A=∠BDE，∠AFD=∠DEB，
∴△AFD∽△DEB，
∵△ADF和△BDE的面積分別為4和25，
∴

DF

BE

=

S△ADF S△BDE

=

4 25

=

2

5

=

CE

BE

，
∴

S△CED

S△DEB

=

2

5

，
∴S_△CED=25×

2

5

=10
∴S_{四邊形CEDF}=2×S_△CED=20．

點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形邊長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵．