Question

如圖，以點(diǎn)M（5，3）為圓心的⊙M切y軸于點(diǎn)A，與x軸交于B（1，0），C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），直線(xiàn)l過(guò)圓心M且垂直于y軸，點(diǎn)P是直線(xiàn)l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果△PAB的周長(zhǎng)最小，那么此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是

（5，

4

3

）

．

Answer 1

分析：連接AM，由切線(xiàn)的性質(zhì)可知，AM⊥y軸，根據(jù)M點(diǎn)的坐標(biāo)可求出AM及MD的長(zhǎng)，作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B，則線(xiàn)段A′B的長(zhǎng)即為△PAB的最小周長(zhǎng)，再用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)A′B的解析式，得出此直線(xiàn)與直線(xiàn)l的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：連接AM，
∵⊙M切y軸于點(diǎn)A，
∴AM⊥y軸，
∵M(jìn)（5，3），l⊥x軸，
∴AM=5，MD=3，直線(xiàn)l的解析式為l=5，
作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，則A′（10，3），連接A′B，則線(xiàn)段A′B的長(zhǎng)即為△PAB的最小周長(zhǎng)，
設(shè)過(guò)點(diǎn)A′、B的直線(xiàn)解析式為y=kx+b（k≠0），則

10k+b=3 k+b=0

，解得

k= 1 3 b=- 1 3

，
∴此直線(xiàn)的解析式為：y=

1

3

x-

1

3

，
∴當(dāng)x=5時(shí)，y=

1

3

×5-

1

3

=

4

3

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（5，

4

3

）．
故答案為：（5，

4

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題，熟知“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”的知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．