Question

10．已知：如圖，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=2，∠A=60°，對角線BD平分∠ABC．
（1）求對角線BD的長；
（2）求梯形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰梯形的同一底上的兩個底角相等，即可求得∠B的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理證明△ABD是直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求解；
（2）過點D、C分別作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足為點H、G，在直角△ADB中求得DH和AH的長，則AB即可求得，然后利用梯形的面積公式求解．

解答 解：（1）∵DC∥AB，AD=BC，
∴∠A=∠ABC．
∵BD平分∠ABC，∠A=60°，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°．
∴∠ADB=90°．
∵AD=2，
∴AB=2AD=4．
∴BD=$\sqrt{A{B^2}-A{D^2}}=\sqrt{{4^2}-{2^2}}=2\sqrt{3}$．
（2）過點D、C分別作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足為點H、G．
∵DC∥AB，BD平分∠ABC，
∴∠CDB=∠ABD=∠CBD．
∵BC=2，
∴DC=BC=2．
在RT△ADH和RT△BCG中，$\left\{\begin{array}{l}DH=CG\\ AD=BC\end{array}\right.$，
∴RT△ADH≌RT△BCG．
∴AH=BG．
∵∠A=60°，
∴∠ADH=30°．
∴AH=$\frac{1}{2}$AD=1，DH=$\sqrt{3}$．
∵DC=HG=2，
∴AB=4．
∴${S_{梯形ABCD}}=\frac{1}{2}（2+4）•\sqrt{3}=3\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查對等腰梯形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能求出DC=BC是解此題的關鍵．