Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(a ,2)是直線y=x上一點(diǎn)，以A為圓心，2為半徑作⊙A，若P(x,y)是第一象限內(nèi)⊙A上任意一點(diǎn)，則的最小值為（ ）

A. 1 B. C. —1 D.

Answer 1

【答案】D

【解析】分析: 如圖所示，當(dāng)直線OP與圓A相切時(shí)，連接AP，過(guò)P作PH⊥x軸，此時(shí)取得最小值，利用切線的性質(zhì)得到AP垂直于OP，在直角三角形AOP中，根據(jù)到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上確定出∠AOP＝30°，為tan∠30°的值，求出即可．

詳解: 如圖所示，當(dāng)直線OP與圓A相切時(shí)，連接AP，過(guò)P作PH⊥x軸，此時(shí)取得最大值，

∵點(diǎn)A(a ,2)是直線y=x上一點(diǎn)，

∴a=2,

∴A(2 ,2).

∵以A為圓心，2為半徑作⊙A，

∴⊙A與y軸相切.

則當(dāng)直線OP與圓A相切時(shí)， 取得最小值，

∵∠AOy=∠AOP＝30°，

∴∠AOx＝30°，

∴此時(shí)＝tan30°＝，

則的最小值為．

故選：D．

點(diǎn)睛:

此題考查了切線的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．