Question

【問題】：如圖1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．若∠A=80°，則∠BEC=

 

；若∠A=n°，則∠BEC=

 

．
【探究】：
（1）如圖2，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB．若∠A=n°，則∠BEC=

 

；
（2）如圖3，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACM．若∠A=n°，則∠BEC=

 

；
（3）如圖4，在△ABC中，BE平分外角∠CBM，CE平分外角∠BCN．若∠A=n°，則∠BEC=

 

．

Answer 1

考點：三角形內角和定理,三角形的外角性質

專題：

分析：（1）根據角平分線的意義和三角形的內角和解答即可；
（2）根據三角形的內角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-n°，再由線段BD、BE把∠ABC三等分，線段CD、CE把∠ACB三等分，得到∠EBC=

2

3

∠ABC，∠ECB=

2

3

∠ACB，于是∠EBC+∠ECB=

2

3

（∠ABC+∠ACB）再根據三角形的內角和定理得到∠BPE的大��；
（3）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，結合三角形的內角和，然后整理即可得到∠BEC與∠A的關系；
（4）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和以及角平分線的定義表示出∠EBC與∠ECB，然后再根據三角形的內角和定理列式整理即可得解．

解答：解：問題：如圖1，：∵BE、CE分別平分∠ABC和∠ACB，
∴∠EBC=

1

2

∠ABC，∠ECB=

1

2

∠ACB（角平分線的定義）
∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）
=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）
=180°-

1

2

（180°-∠A）
=90°+

1

2

∠A；
若∠A=80°，則∠BEC=130°；若∠A=n°，則∠BEC=90°+

1

2

n°．
探究：（1）如圖2，
∵線段BP、BE把∠ABC三等分，
∴∠EBC=

2

3

∠ABC，并且BE平分∠PBC；
又∵線段CD、CE把∠ACB三等分，
∴∠ECB=

2

3

∠ACB，并且EC平分∠PCB；
∴∠EBC+∠ECB=

2

3

（∠ABC+∠ACB）=

2

3

（180°-∠A）
∴∠BEC=180°-

2

3

（180°-∠A）=60°+∠A，
若∠A=n°，則∠BEC=60°+

2

3

n°；
（2）如圖3，
∵BE和CE分別是∠ABC和∠ACM的角平分線，
∴∠EBC=

1

2

∠ABC，∠ACE=

1

2

∠ACM，
又∵∠ACM是△ABC的一外角，
∴∠ACM=∠A+∠ABC，
∴∠ACE=

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠A+∠EBC，
∵∠ACM是△BEC的一外角，
∴∠BEC=∠ACE-∠EBC=

1

2

∠A+∠EBC-∠EBC=

1

2

∠A；
若∠A=n°，則∠BEC=

1

2

n°；
（3）如圖4，
∠EBC=

1

2

（∠A+∠ACB），∠ECB=

1

2

（∠A+∠ABC），
∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB，
=180°-

1

2

（∠A+∠ACB）-

1

2

（∠A+∠ABC），
=180°-

1

2

∠A-

1

2

（∠A+∠ABC+∠ACB），
∠BEC=90°-

1

2

∠A．
若∠A=n°，則∠BEC=90°-

1

2

n°．
故答案為：130°，90°+

1

2

n°；60°+

2

3

n°；

1

2

n°；90°-

1

2

n°．

點評：本題考查了三角形的外角性質與內角和定理，熟記三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．