Question

【題目】已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-3，0）、B（1，0），C為頂點(diǎn)，直線y=x+m經(jīng)過點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)D．

（1）求b、c的值；

（2）求∠DAO的度數(shù)和線段AD的長；

（3）平移該拋物線得到一條新拋物線，設(shè)新拋物線的頂點(diǎn)為C′，若新拋物線經(jīng)過點(diǎn)D，并且新拋物線的頂點(diǎn)和原拋物線的頂點(diǎn)的連線CC′平行于直線AD，求新拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

【答案】（1）b=2，c=-3（2）∠DAO=45°．AD=3（3）y=x2-4x+3或y=x2+6x+3

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）利用待定系數(shù)法求直線函數(shù)解析式，然后求得D點(diǎn)坐標(biāo)，通過等腰直角三角形求得∠DAO的度數(shù)；根據(jù)勾股定理計(jì)算即可求得線段AD的長度；
（3）根據(jù)題意可設(shè)新拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：y=x2+tx+3，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出點(diǎn)C′的坐標(biāo)，再根據(jù)題意求出直線CC′的解析式，代入計(jì)算即可．

（1）把A（-3，0）、B（1，0）代入y=x2+bx+c，

得：，

解得：；

（2）把A（-3，0）代入y=x+m得到：-3+m=0，

解得m=3，

即直線方程為y=x+3，

令x=0，則y=3，

∴D（0，3），

∴OA=OD=3，

又∠AOD=90°，

∴△AOD是等腰直角三角形，

∴∠DAO=45°，

由A（-3，0），D（0，3）得到：AD==3，

綜上所述，∠DAO=45°，AD=3；

（3）根據(jù)題意可設(shè)新拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：y=x2+tx+3，

y=x2+tx+3=（x+）2+3-，

則點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（-，3-），

∵CC′平行于直線AD，且經(jīng)過C（0，-3），

∴直線CC′的解析式為：y=x-3，

∴--3=3-，

解得，t1=-4，t2=6，

∴新拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：y=x2-4x+3或y=x2+6x+3．