Question

如圖,是圓的直徑,為圓心,、是半圓的弦，且. 延長交圓的切線于點

(1) 判斷直線是否為的切線，并說明理由；

(2) 如果，，求的長。

（3）將線段以直線為對稱軸作對稱線段,點正好在圓上，如圖2，求證：四邊形為菱形

 

Answer 1

解：（1）直線為⊙O的切線 …………1分

證明：連結(jié)OD    ∵是圓的直徑     ∴∠ADB=90°   …………2分

∴∠ADO+∠BDO=90°     又∵DO=BO       ∴∠BDO=∠PBD            

∵                ∴∠BDO=∠PDA     …………3分

∴∠ADO+∠PDA=90° 即PD⊥OD       …………4分

∵點D在⊙O上，

∴直線為⊙O的切線.            …………5分

（2）解：∵ BE是⊙O的切線      ∴∠EBA=90°

∵    ∴∠P=30°     …………6分

∵為⊙O的切線   ∴∠PDO=90°

在RT△PDO中，∠P=30°     ∴   解得OD=1   …………7分

∴         …………8分

∴PA=PO-AO=2-1=1                …………9分

（3）（方法一）證明：依題意得：∠ADF=∠PDA  ∠PAD=∠DAF

∵  ∠ADF=∠ABF

∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF       …………10分

∵是圓的直徑     ∴∠ADB=90° 

設(shè)∠PBD=，則∠DAF=∠PAD=，∠DBF=

∵四邊形AFBD內(nèi)接于⊙O   ∴∠DAF+∠DBF=180°

即    解得              

∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°                …………11分

∵ BE、ED是⊙O的切線      ∴DE=BE   ∠EBA=90°

∴∠DBE=60°∴△BDE是等邊三角形�！郆D=DE=BE     …………12分

又∵∠FDB=∠ADB—∠ADF =90°-30°=60°   ∠DBF==60°

∴△BDF是等邊三角形。   ∴BD=DF=BF            …………13分

∴DE=BE=DF=BF        ∴四邊形為菱形    …………14分

（方法二）證明：依題意得：∠ADF=∠PDA  ∠APD=∠AFD

∵  ∠ADF=∠ABF  ∠PAD=∠DAF

∴∠ADF=∠AFD=∠BPD=∠ABF  …………10分

∴ AD=AF  BF//PD               …………11分

∴ DF⊥PB  ∵ BE為切線  ∴ BE⊥PB  ∴ DF//BE………12分

∴四邊形為平行四邊形…………13分

∵ PE 、BE為切線  ∴ BE=DE

∴四邊形為菱形 …………14分