Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），Q是直線x=3上的一個動點(diǎn)，y軸正半軸上是否存在點(diǎn)P，使△APQ為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，m），點(diǎn)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3，n）（m＞0）．由兩點(diǎn)間的距離公式表示出來PA、QA和PQ的長度，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)列出關(guān)于m、n的二元二次方程組，解方程組即可得出結(jié)論．

解答 解：假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，m），點(diǎn)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3，n）（m＞0）．
由兩點(diǎn)間的距離公式可知：
PA=$\sqrt{4+{m}^{2}}$，QA=$\sqrt{1+{n}^{2}}$，PQ=$\sqrt{9+（n-m）^{2}}$．
根據(jù)已知得：$\left\{\begin{array}{l}{PA=QA}\\{P{Q}^{2}=P{A}^{2}+Q{A}^{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{4+{m}^{2}}=\sqrt{1+{n}^{2}}}\\{9+（n-m）^{2}=4+{m}^{2}+1+{n}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=-2}\end{array}\right.$（舍去）．
故y軸正半軸上存在點(diǎn)P，使△APQ為等腰直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）．

點(diǎn)評 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及兩點(diǎn)間的距離公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知得出關(guān)于m、n的二元二次方程組．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)等腰直角三角的性質(zhì)列出關(guān)于未知數(shù)的方程（或方程組）是關(guān)鍵．