Question

17．⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，過$\widehat{BC}$的中點(diǎn)P作PD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，延長PD與⊙O交于點(diǎn)G，連接AG，CP，PB．
（1）如圖1，若點(diǎn)D是線段OP的中點(diǎn)，求∠BAC的度數(shù)．
（2）如圖2，在DG上取一點(diǎn)K，使DK=DP，連接CK．求證：四邊形AGKC是平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）首先證明∠BOD=60°，再證明AC∥PG即可解決問題．
（2）欲證明四邊形AGKC是平行四邊形，只要證明，AG=CK，AG∥CK即可．

解答 解：（1）∵AB為⊙O直徑，$\widehat{PB}$=$\widehat{PC}$，
∴PG⊥BC，即∠ODB=90°，
∵D是OP中點(diǎn)，
∴OD=$\frac{1}{2}$OP=$\frac{1}{2}$OB，
∴cos∠BOD=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠BOD=60°，
∵AB為⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ODB，
∴AC∥PG，
∴∠BAC=∠BOD=60°．

（2）在△CDK和△BDP中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=DB}\\{∠CDK=∠PDB}\\{DK=DP}\end{array}\right.$，
∴△CDK≌△BDP，
∴CK=PB，∠OPB=∠CKD，
∵∠AOG=∠BOP，
∴AG=BP，
∴AG=CK，
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP，
∵∠G=∠OPB，
∴∠G=∠CKP，
∴AG∥CK，
∴四邊形AGCK是平行四邊形．

點(diǎn)評 本題考查垂徑定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、圓、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，屬于中考�？碱}型．