【題目】(1)如圖1,在正方形ABCD中,M是BC邊(不含端點(diǎn)B、C)上任意一點(diǎn),P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),N是DCP的平分線上一點(diǎn).若AMN=90°,求證:AM=MN.

下面給出一種證明的思路,你可以按這一思路證明,也可以選擇另外的方法證明.

證明:在邊AB上截取AE=MC,連接ME.正方形ABCD中,B=BCD=90°,AB=BC.∴∠NMC=180°AMNAMB=180°BAMB=MAB=MAE

(下面請(qǐng)你完成余下的證明過程)

(2)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”(如圖2),N是ACP的平分線上一點(diǎn),則AMN=60°時(shí),結(jié)論AM=MN是否還成立?請(qǐng)說明理由.

(3)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X,請(qǐng)你作出猜想:當(dāng)AMN= 時(shí),結(jié)論AM=MN仍然成立.(直接寫出答案,不需要證明)

【答案】(1)見解析;(2)結(jié)論AM=MN還成立,見解析;(3)仍成立

【解析】

試題分析:(1)要證明AM=MN,可證AM與MN所在的三角形全等,為此,可在AB上取一點(diǎn)E,使AE=CM,連接ME,利用ASA即可證明AEM≌△MCN,然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出AM=MN.

(2)同(1),要證明AM=MN,可證AM與MN所在的三角形全等,為此,可在AB上取一點(diǎn)E,使AE=CM,連接ME,利用ASA即可證明AEM≌△MCN,然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出AM=MN.

(3)由(1)(2)可知,AMN等于它所在的正多邊形的一個(gè)內(nèi)角即等于時(shí),結(jié)論AM=MN仍然成立.

(1)證明:在邊AB上截取AE=MC,連接ME.

正方形ABCD中,B=BCD=90°,AB=BC.

∴∠NMC=180°AMNAMB=180°BAMB=MAB=MAE,

BE=AB﹣AE=BC﹣MC=BM,

∴∠BEM=45°,∴∠AEM=135°

NDCP的平分線上一點(diǎn),

∴∠NCP=45°,∴∠MCN=135°

AEMMCN中,MAE=NMC,AE=MC,AEM=MCN

∴△AEM≌△MCN(ASA),

AM=MN

(2)解:結(jié)論AM=MN還成立

證明:在邊AB上截取AE=MC,連接ME.

在正ABC中,B=BCA=60°,AB=BC.

∴∠NMC=180°AMNAMB=180°BAMB=MAE,

BE=AB﹣AE=BC﹣MC=BM,

∴∠BEM=60°∴∠AEM=120°

NACP的平分線上一點(diǎn),

∴∠ACN=60°,∴∠MCN=120°

AEMMCN中,MAE=NMC,AE=MC,AEM=MCN,

∴△AEM≌△MCN(ASA),

AM=MN

(3)解:若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X,則當(dāng)AMN=時(shí),結(jié)論AM=MN仍然成立.

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