Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（3，0）、B（0，4）

（1）求此拋物線的解析式;

（2）若拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，求點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo);

（3）若點(diǎn)C是第二象限內(nèi)一點(diǎn)，以點(diǎn)D為圓心的圓分別與軸、軸、直線AB相切于點(diǎn)E、F、H，問(wèn)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得的值最大？若存在，求出該最大值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（，）（3）存在，

【解析】解：（1）由題意得：     解得：

   ∴拋物線解析式為.················· 3分

（2）令，得

解得：，=3.

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）.  ············· 4分

作CQ⊥AB，垂足為Q，延長(zhǎng)CQ，使CQ=Q，則點(diǎn)

就是點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)．

由△ABC的面積得：

,

∵CA=2，

∴CQ=，=.  ························· 6分

作T⊥軸，垂足為T，則△∽△BOA.

∴    ∴=，=

∴=1+=  ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（，） ··········· 8分

（3）設(shè)⊙D的半徑為，∴AE=+3，BF=4－，HB=BF=4－.

∵AB=5，且AE=AH,

∴+3=5+4－,

∴=3．    ············· 10分

HB=4－3=1.

作HN⊥軸，垂足為N，

則，,

∴HN=，BN=,

∴H點(diǎn)坐標(biāo)為（，）.······ 12分

根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，得PA=PC,

∵,

∴當(dāng)H、C、P三點(diǎn)共線時(shí)，最大.

∵HC==,

∴的最大值為.

（1）用待定系數(shù)法求得拋物線解析式

（2）求出C點(diǎn)坐標(biāo)，作CQ⊥AB，垂足為Q，延長(zhǎng)CQ，使CQ=C'Q，則點(diǎn)C’就是點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)．通過(guò)△ABC的面積，求出，作T⊥軸，垂足為T，通過(guò)△∽△BOA. 求出、，從而得出結(jié)論

（3）設(shè)⊙D的半徑為，通過(guò)AB=5，且AE=AH,求得=3，作HN⊥軸，垂足為N，通過(guò)△HNB∽△OAB，求得H點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，得PA=PC, 當(dāng)H、C、P三點(diǎn)共線時(shí)，最大.利用勾股定理求出HC的長(zhǎng)，即為最大值