Question

2．如圖，△ACB和△DCE均為等腰三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．
（1）如圖1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°
①求證：AD=BE；
②求∠AEB的度數(shù)．
（2）如圖2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM為△DCE中DE邊上的高，BN為△ABE中AE邊上的高，試證明：AE=2$\sqrt{3}$CM+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$BN．

Answer 1

分析 （1）①通過角的計算找出∠ACD=∠BCE，再結合△ACB和△DCE均為等腰三角形可得出“AC=BC，DC=EC”，利用全等三角形的判定（SAS）即可證出△ACD≌△BCE，由此即可得出結論AD=BE；
②結合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC，再通過角的計算即可算出∠AEB的度數(shù)；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結合頂角的度數(shù)，即可得出底角的度數(shù)，利用（1）的結論，通過解直角三角形即可求出線段AD、DE的長度，二者相加即可證出結論．

解答 （1）①證明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，
∴∠ACB=∠DCE=180°-2×50°=80°．
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE．
∵△ACB和△DCE均為等腰三角形，
∴AC=BC，DC=EC．
在△ACD和△BCE中，有$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE．
②解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC．
∵點A，D，E在同一直線上，且∠CDE=50°，
∴∠ADC=180°-∠CDE=130°，
∴∠BEC=130°．
∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=130°-50°=80°．
（2）證明：∵△ACB和△DCE均為等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120°，
∴∠CDM=∠CEM=$\frac{1}{2}$×（180°-120°）=30°．
∵CM⊥DE，
∴∠CMD=90°，DM=EM．
在Rt△CMD中，∠CMD=90°，∠CDM=30°，
∴DE=2DM=2×$\frac{CM}{tan∠CDM}$=2$\sqrt{3}$CM．
∵∠BEC=∠ADC=180°-30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB，
∴∠AEB=∠BEC-∠CEM=150°-30°=120°，
∴∠BEN=180°-120°=60°．
在Rt△BNE中，∠BNE=90°，∠BEN=60°，
∴BE=$\frac{BN}{sin∠BEN}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$BN．
∵AD=BE，AE=AD+DE，
∴AE=BE+DE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$BN+2$\sqrt{3}$CM．

點評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、解直角三角形以及角的計算，解題的關鍵是：（1）通過角的計算結合等腰三角形的性質(zhì)證出△ACD≌△BCE；（2）找出線段AD、DE的長．本題屬于中檔題，難度不大，但稍顯繁瑣，解決該題型題目時，利用角的計算找出相等的角，再利用等腰三角形的性質(zhì)找出相等的邊或角，最后根據(jù)全等三角形的判定定理證出三角形全是關鍵．