Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中點，點E在AC上，點F在BC上，且AE=CF．

（1）求證：DE=DF，DE⊥DF；

（2）若AC=2，求四邊形DECF面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）1

【解析】試題分析：

（1）如圖，連接CD，由已知條件易得：∠A=∠DCF=45°，CD=AD，結合AE=CF即可證得△ADE≌△CFD，從而可得DE=DF，∠ADE=∠CDF，結合∠ADE+∠EDC=90°即可得到∠EDF=90°，從而可得DE⊥DF；

（2）由（1）中所得△ADE≌△CFD可得四邊形DECF的面積=△ADC的面積，而△ADC的面積=△ABC面積的一半，結合△ABC是等腰直角三角形及AC=2即可求出所求面積了.

試題解析：

（1）如圖，連接CD．

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，∠A=∠B=45°，

∵D為BC中點，

∴BD=CD，CD平分∠BCA，CD⊥AB．

∴∠DCF=45°，

在△ADE和△CFD中， ，

∴△ADE≌△CFD（SAS），

∴DE=DF，∠ADE=∠CDF．

∵∠ADE+∠EDC=90°，

∴∠CDF+∠EDC=∠EDF=90°，即DE⊥DF．

（2）∵△ADE≌△CFD，

∴S△AED=S△CFD，

∴S四邊形CEDF=S△ADC，

∵D是AB的中點，

∴S△ACD=S△ACB=××2×2=1．

∴S四邊形CEDF=1．