Question

3．己知直線y=kx+b與雙曲線y=$\frac{m}{x}$（x＞0，m＞0）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)（x₁＜x₂），直線AB與x軸交于P（x₀，0），與y軸交于點(diǎn)C，猜想并用等式表示x₁，x₂，x₀之間的關(guān)系，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，得到m=x₁•y₁=x₂y₂，求得y₁=$\frac{{x}_{2}{y}_{2}}{{x}_{1}}$，把A、B的坐標(biāo)代入y=kx+b求得k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，b=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，從而得出直線為y=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$x+$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，令y=0，得到x₀=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{1}-{y}_{2}}$，把y₁=$\frac{{x}_{2}{y}_{2}}{{x}_{1}}$代入化簡(jiǎn)即可求得x₀=x₁+x₂．

解答 解：猜想：x₁，x₂，x₀之間的關(guān)系為x₁+x₂=x₀．
∵直線y=kx+b與雙曲線y=$\frac{m}{x}$（x＞0，m＞0）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)（x₁＜x₂），
∴m=x₁•y₁=x₂y₂，
∴y₁=$\frac{{x}_{2}{y}_{2}}{{x}_{1}}$
∵直線y=ax+b經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}k+b={y}_{1}}\\{{x}_{2}k+b={y}_{2}}\end{array}\right.$解得k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，b=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
∴直線為y=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$x+$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
令y=0，則x₀=-$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{1}-{y}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}•\frac{{x}_{2}{y}_{2}}{{x}_{1}}}{\frac{x{{\;}_{2}y}_{2}}{{x}_{1}}-{y}_{2}}$=-$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=x₁+x₂．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求解析式以及反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，根據(jù)m=x₁•y₁=x₂y₂，得出y₁=$\frac{{x}_{2}{y}_{2}}{{x}_{1}}$是解題的關(guān)鍵．