Question

【題目】如圖，已知Rt△ABD中，∠A=90°，將斜邊BD繞點(diǎn)B順時針方向旋轉(zhuǎn)至BC，使BC∥AD，過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E．
（1）求證：△ABD≌△ECB；
（2）若∠ABD=30°，BE=3，求弧CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠A=90°，CE⊥BD，

∴∠A=∠BEC=90°．

∵BC∥AD，

∴∠ADB=∠EBC．

∵將斜邊BD繞點(diǎn)B順時針方向旋轉(zhuǎn)至BC，

∴BD=BC．

在△ABD和△ECB中，

∴△ABD≌△ECB

（2）解：∵△ABD≌△ECB，

∴AD=BE=3．

∵∠A=90°，∠BAD=30°，

∴BD=2AD=6，

∵BC∥AD，

∴∠A+∠ABC=180°，

∴∠ABC=90°，

∴∠DBC=60°，

∴弧CD的長為 =2π

【解析】（1）因為這兩個三角形是直角三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出BC=BD，由AD∥BC推出∠ADB=∠EBC，從而能證明△ABD≌△ECB；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出AD=BE=3．根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得出BD=2AD=6，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠DBC=60°，再代入弧長計算公式求解即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用弧長計算公式和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握若設(shè)⊙O半徑為R，n°的圓心角所對的弧長為l，則l=nπr/180;注意：在應(yīng)用弧長公式進(jìn)行計算時，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的；①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了．