Question

18．如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)P是BA延長線上一點(diǎn)，PC是⊙O的切線，切點(diǎn)為C，過點(diǎn)B作BD⊥PC交PC的延長線于點(diǎn)D，連接BC．求證：
（1）∠PBC=∠CBD；
（2）BC²=AB•BD．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由PC為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OC垂直于PC，再由BD垂直于PD，得到一對直角相等，利用同位角相等兩直線平行得到OC與BD平行，進(jìn)而得到一對內(nèi)錯(cuò)角相等，再由OB=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換即可得證；
（2）連接AC，由AB為圓O的直徑，利用圓周角定理得到∠ACB為直角，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形ABC與三角形CBD相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例，變形即可得證．

解答 證明：（1）連接OC，
∵PC與圓O相切，
∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，
∵BD⊥PD，
∴∠BDP=90°，
∴∠OCP=∠PDB，
∴OC∥BD，
∴∠BCO=∠CBD，
∵OB=OC，
∴∠PBC=∠BCO，
∴∠PBC=∠CBD；
（2）連接AC，
∵AB為圓O的直徑，∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠CDB=90°，
∵∠ABC=∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴$\frac{BC}{BD}$=$\frac{AB}{BC}$，
則BC²=AB•BD．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及切線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．