Question

如圖①，△ABC與△DEF是將△ACF沿過A點的某條直線剪開得到的（AB，DE是同一條剪切線）．平移△DEF使頂點E與AC的中點重合，再繞點E旋轉△DEF，使ED，EF分別與AB，BC交于M，N兩點．

（1）如圖②，△ABC中，若AB=BC，且∠ABC=90°，則線段EM與EN有何數量關系？請直接寫出結論；

（2）如圖③，△ABC中，若AB=BC，那么（1）中的結論是否還成立？若成立，請給出證明：若不成立，請說明理由；

（3）如圖④，△ABC中，若AB：BC=m：n，探索線段EM與EN的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）EM=EN．

證明：過點E作EG⊥BC，G為垂足，作EH⊥AB，H為垂足，連接BE，如答圖②所示．

則∠EHB=∠EGB=90°．

∴在四邊形BHEG中，∠HBG+∠HEG=180°．

∵∠HBG+∠DEF=180°，

∴∠HEG=∠DEF．

∴∠HEM=∠GEN．

∵BA=BC，點E為AC中點，

∴BE平分∠ABC．

又∵EH⊥AB，EG⊥BC，

∴EH=EG．

在△HEM和△GEN中，

∵∠HEM=∠GEN，EH=EG，∠EHM=∠EGN，

∴△HEM≌△GEN．

∴EM=EN．

（2）EM=EN仍然成立．

證明：過點E作EG⊥BC，G為垂足，作EH⊥AB，H為垂足，連接BE，如答圖③所示．

則∠EHB=∠EGB=90°．

∴在四邊形BHEG中，∠HBG+∠HEG=180°．

∵∠HBG+∠DEF=180°，

∴∠HEG=∠DEF．

∴∠HEM=∠GEN．

∵BA=BC，點E為AC中點，

∴BE平分∠ABC．

又∵EH⊥AB，EG⊥BC，

∴EH=EG．

在△HEM和△GEN中，

∵∠HEM=∠GEN，EH=EG，∠EHM=∠EGN，

∴△HEM≌△GEN．

∴EM=EN．

（3）線段EM與EN滿足關系：EM：EN=n：m．

證明：過點E作EG⊥BC，G為垂足，作EH⊥AB，H為垂足，連接BE，如答圖④所示．

則∠EHB=∠EGB=90°．

∴在四邊形BHEG中，∠HBG+∠HEG=180°．

∵∠HBG+∠DEF=180°，

∴∠HEG=∠DEF．

∴∠HEM=∠GEN．

∵∠HEM=∠GEN，∠EHM=∠EGN，

∴△HEM∽△GEN．

∴EM：EN=EH：EG．

∵點E為AC的中點，

∴S_△AEB=S_△CEB．

∴AB•EH=BC•EG．

∴EH：EG=BC：AB．

∴EM：EN=BC：AB．

∵AB：BC=m：n，

∴EM：EN=n：m．