Question

如圖所示，⊙O中，弦AC、BD交于E，

BD

=2

AB

．
（1）求證：AB2=AE?AC；
（2）延長EB到F，使EF=CF，試判斷CF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接BC，由

BD

=2

AB

，得弧AD=弧AB，則∠ABD=∠ACB，得到△ABE∽△ABC，所以AB2=AE?AC；
（2）連接AO、CO，由A為

DB

中點，得到AO⊥DB，得到∠OAC+∠AED=90°，所以∠OAC+∠FEC=90°，而EF=CF，則∠FEC=∠ECF，
又∠OAC=∠OCA，所以∠OAC+∠FEC=∠OCA+∠ECF=90°，即得到CF與⊙O相切．

解答：證明：（1）連接BC，如圖，
∵

BD

=2

AB

．
∴弧AD=弧AB，
∴∠ABD=∠ACB，
而∠CAB公用，
∴△ABE∽△ABC，
∴

AB

AC

=

AE

AB

，
∴AB2=AE?AC；

（2）CF與⊙O相切．理由如下：
連接AO、CO，
∵A為

DB

中點，
∴AO⊥DB，
∴∠OAC+∠AED=90°
∵∠AED=∠FEC，
∴∠OAC+∠FEC=90°，
又∵EF=CF，
∴∠FEC=∠ECF，
∵AO=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC+∠FEC=∠OCA+∠ECF=90°，
∴FC與⊙O相切．

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．也考查了三角形相似的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和切線的判定．