Question

15．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D是BC邊的中點，分別以B、C為圓心，大于$\frac{1}{2}$BC長為半徑畫弧，兩弧在直線BC上方的交點為P，直線PD交AC于點E，連接BE，則下列結(jié)論：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=$\frac{1}{2}$AB中，正確的個數(shù)為（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據(jù)作圖可得P到B、C兩點距離相等，再由D是BC邊的中點可得PD是BC的垂直平分線，進而可得①正確；再根據(jù)角的互余關(guān)系可證明∠A=∠EBA，故②正確；結(jié)論③不能證明，根據(jù)三角形中位線定理可得④正確．

解答 解：∵由作圖可得P到B、C兩點距離相等，
又∵點D是BC邊的中點，
∴PD是BC的垂直平分線，故①正確；
∵PD是BC的垂直平分線，
∴EB=EC，
∴∠C=∠EBC，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠A=∠EBA，故②正確；
根據(jù)所給條件無法證明EB平分∠AED，故③錯誤；
∵∠A=∠EBA，
∴AE=BE，
∵BE=EC，
∴EA=EC，
∵D為BC中點，
∴DE是△ABC的中位線，
∴ED=$\frac{1}{2}$AB，故④正確；
正確的共有3個，
故選：C．

點評 此題主要考查了基本作圖，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的作法和性質(zhì)．