Question

（2010•北海）如圖，在△OAB中，AO=AB，∠OAB=90°，點B坐標為（10，0）．過原點O的拋物線，又過點A和G，點G坐標為（7，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）邊OB上一動點T（t，0），（T不與點O、B重合）過點T作OA、AB的垂線，垂足分別為C、D．設△TCD的面積為S，求S的表達式（用t表示），并求S的最大值；
（3）已知M（2，0），過點M作MK⊥OA，垂足為K，作MN⊥OB，交點OA于N．在線段OA上是否存在一點Q，使得Rt△KMN繞點Q旋轉(zhuǎn)180°后，點M、K恰好落在（1）所求拋物線上？若存在請求出點Q和拋物線上與M、K對應的點的坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)△OAB是等腰直角三角形，OB=10，得出點A的坐標，再設拋物線的解析式為y=ax²+bx，把點A和G代入求出a，b的值，即可求出拋物線的解析式；
（2））根據(jù)∠OAB=90°，TC⊥OA，TD⊥AB，得出四邊形ACTD為矩形，再根據(jù)△OAB為等腰直角三角形，得出△OCT、△TDB均為等腰直角三角形，再根據(jù)OT=t，OB=10，得出CT和TD的值，即可求出S的表達式和S的最大值；
（3）根據(jù)△OMK是等腰直角三角形，點M（2，0），MK⊥OA，得出點K的坐標，設出Rt△KMN旋轉(zhuǎn)后對應三角形是Rt△K'M'N'，由題意可知，K'與A重合，得出K'和Q點的坐標，再根據(jù)Rt△KMN≌Rt△K'M'N'，MK∥M'K'，得出點M'坐標，即可求出解析式，從而得出它們的對應點的坐標．

解答：解（1）∵△OAB是等腰直角三角形，OB=10，
∴點A的坐標為（5，5），
設拋物線的解析式為y=ax²+bx，
把點A（5，5）和點G（7，0）．
代入上式，
得

5=25a+5b 0=49a+7b

，
解得：

a=- 1 2 b= 7 2

，
拋物線的解析式為y=-

1

2

x2+

7

2

x；

（2）∵∠OAB=90°，TC⊥OA，TD⊥AB，
∴四邊形ACTD為矩形，
又∵△OAB為等腰直角三角形，
∴△OCT、△TDB均為等腰直角三角形，
∵OT=t，OB=10，
∴CT=

t

2

，TD=

10-t

2

，
∴S=

1

2

S矩形ACTD=

1

2

•TC•TD=

1

2

•

t

2

•

10-t

2

=-

1

4

t2+

5

2

t，
∵S=-

1

4

t2+

5

2

t=-

1

4

(t-5)2+

25

4

，
∴當t=5 時，S的最大值為

25

4

；

（3）存在．
∵△OMK是等腰直角三角形，點M（2，0），MK⊥OA，
∴點K的坐標為（1，1），
設 Rt△KMN旋轉(zhuǎn)后對應三角形是Rt△K′M′N′
由題意可知，K'與A重合
∴點K'的坐標為（5，5），
∵Q點在OA上，且是KA的中點，
∴Q點的坐標為（3，3），
又∵Rt△KMN≌Rt△K′M′N′，且MK∥M′K′
∴點M'坐標為（4，6），
把 x=4 代入y=-

1

2

x2+

7

2

x得y=-

1

2

×42+

7

2

×4=6，
∴點M'（4，6）在拋物線y=-

1

2

x2+

7

2

x上，
∴點Q的坐標是（3，3），拋物線上與M、K對應的點的坐標分別是M′（4，6）、K′（5，5）．

點評：此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合知識，解題的關鍵是要注意數(shù)形結合思想的應用；此題屬于中考中的壓軸題，難度較大，知識點考查的較多而且聯(lián)系密切，需要學生認真審題．