Question

【題目】已知，在中，以、為邊分別向形外作等邊和，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)．

（1）如圖(a)所示，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為__________．

（2）如圖(b)所示，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）的度數(shù)不變，仍是60°，證明見解析．

【解析】

（1）設(shè)AC中點(diǎn)G、BC中點(diǎn)H，連接MG、PG；NH，PH，利用中位線定理可以證明△MGP和△PHN全等，然后利用角之間的關(guān)系即可得出答案；

（2）由題意可知MF是等邊△ACD的中位線，PG是△ABC的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)可知四邊形CFPG是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可證明△MFP≌△PGN，即可得出答案.

解：（1）60°

取，的中點(diǎn)分別為，，連接，，，　

又M是CD的中點(diǎn)，P是AB的中點(diǎn)，N是CE的中點(diǎn)

∴MG=AD，MG∥AD，NH=EB，NH∥EB ，GP=BC，GP∥BC ，HP =AC，HP∥AC

又∵△ACD和△ABE均為等邊三角形

∴AD=AC，BC=BE，∠MGC=∠DAC=60°，∠CGP=∠ECB=60°, ∠PHC=∠ACD=60°, ∠CHN=∠CBE=60°

∴MG= HP，NH= GP，∠MGP=∠PHN=120°

在△MGP和△PHN中

∴△MGP≌△PHN

∴∠MPG=∠PNH

∴∠PNH+∠NPH=180°-∠PHN=60°

（2）的度數(shù)不變，仍是60°，

證明：如圖所示，取、的中點(diǎn)分別為，，

連接、、、，

∵是等邊的中位線，

∴，，

∴．

∵是的中位線，

∴，，

∴，

∴，．

同理，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，

∴，即，

∴，

∴．

∵，

∴．

在中，．

又∵，

∴．

∵，

∴．

∵，，

∴．

又∵，

∴．