Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AB=10，圓心角∠AOC=60°，點(diǎn)D是

AC

的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PC+PD的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題,勾股定理,垂徑定理

專(zhuān)題：

分析：作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線(xiàn)問(wèn)題，連接C′D，C′D與AB的交點(diǎn)即為使PC+PD的值最小的點(diǎn)，此時(shí)PC+PD=C′D，連接OC′、OD，求出∠C′OD=90°，再根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的

2

倍解答．

解答：解：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，連接C′D，
則C′D與AB的交點(diǎn)即為使PC+PD的值最小的點(diǎn)，此時(shí)PC+PD=C′D，
連接OC′、OD，
∵∠AOC=60°，
∴∠AOC′=60°，
∵點(diǎn)D是

AC

的中點(diǎn)，
∴∠AOD=

1

2

∠AOC=

1

2

×60°=30°，
∴∠C′OD=30°+60°=90°，
∴△C′OD是等腰直角三角形，
∵直徑AB=10，
∴半徑OD=

1

2

×10=5，
∴C′D=

2

OD=5

2

，
即PC+PD的最小值是5

2

．
故答案為：5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線(xiàn)問(wèn)題，垂徑定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)并確定出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于作輔助線(xiàn)構(gòu)造出等腰直角三角形．