Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在正比例函數(shù)y=x的圖象上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（m＞0）。以點(diǎn)P為圓心，為半徑的圓交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于C、D兩點(diǎn)（D點(diǎn)在點(diǎn)C的上方）。點(diǎn)E為平行四邊形DOPE的頂點(diǎn)（如圖）。

（1）寫(xiě)出點(diǎn)B、E的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；

（2）連接DB、BE，設(shè)△BDE的外接圓交y軸于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q異于點(diǎn)D），連接EQ、BQ。試問(wèn)線段BQ與線段EQ的長(zhǎng)是否相等？為什么？

（3）連接BC，求∠DBC－∠DBE的度數(shù)。

Answer 1

解：（1）B（3m，0），E（m，4m）。

（2）線段BQ與線段EQ的長(zhǎng)相等。理由如下：

由（1）知B（3m，0），E（m，4m），

∵根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性，點(diǎn)D點(diǎn)B關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，

∴D（0，3m）。

∴，，

。

∴。∴△BDE是直角三角形。

∴BE是△BDE的外接圓的直徑。

設(shè)△BDE的外接圓的圓心為點(diǎn)G，則由B（3m，0），E（m，4m）得G（2m，2m）。

過(guò)點(diǎn)G作GI⊥DG于點(diǎn)I，則I（0，2m）。

根據(jù)垂徑定理，得DI=IQ ，∴Q（0，m）。

∴。

∴BQ=EQ。

（3）延長(zhǎng)EP交x軸于點(diǎn)H，則EP⊥AB，BH=2m。

根據(jù)垂徑定理，得AH=BH=2m，AO= m。

根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性，OC=OA= m。

又∵OB=3m，，，

∴。。

又∵∠COB=∠EDB=90⁰，∴△COB∽△EDB�！唷螼BC=∠DBE。

∴∠DBC－∠DBE=∠DBC－∠OBC=∠DBO。

又∵OB=OC，∴∠DBO=45⁰�！唷螪BC－∠DBE=45⁰。