Question

【題目】（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線過點A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x軸正半軸上的一個動點，M是線段AP的中點，將線段MP繞點P順時針旋轉90°得線段PB，過點B作x軸的垂線，過點A作y軸的垂線，兩直線交于點D．

（1）求b、c的值；

（2）當t為何值時，點D落在拋物線上；

（3）是否存在t，使得以A，B，D為頂點的三角形與△AOP相似？若存在，求此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）b=，c=4；（2）t=3；（3）t=或．

【解析】

試題分析：（1）將A、C兩點坐標代入拋物線，求出b，c的值即可；

（2）先求得M的坐標，進而求出點D的坐標，然后將D（t+2，4）代入（1）中的拋物線的解析式，即可求出t的值；

（3）由于t=8時，點B與點D重合，△ABD不存在，所以分0＜t＜8和t＞8兩種情況進行討論，在每一種情況下，當以A、B、D為頂點的三角形與△PEB相似時，又分兩種情況：△BEP∽△ADB與△PEB∽△ADB，根據(jù)相似三角形對應邊的比相等列出比例式，求解即可．

試題解析：（1）∵拋物線過點A（0，4）和C（8，0），

∴，解得：，∴b=，c=4；

（2）∵∠AOP=∠PEB=90°，∠OAP=∠EPB=90°﹣∠APO，∴△AOP∽△PEB且相似比為=2，∵AO=4，∴PE=2，OE=OP+PE=t+2，又∵DE=OA=4，∴點D的坐標為（t+2，4），∴點D落在拋物線上時，有，解得t=3或t=﹣2，∵t＞0，∴t=3．故當t為3時，點D落在拋物線上；

（3）存在t，能夠使得以A、B、D為頂點的三角形與△AOP相似，理由如下：

①當0＜t＜8時，如圖1．

若△POA∽△ADB，則PO：AD=AO：BD，即t：（t+2）=4：（4﹣t），整理得：，∴t無解；

若△POA∽△BDA，同理，解得（負值舍去）；

②當t＞8時，如圖2．

若△POA∽△ADB，則PO：AD=AO：BD，即t：（t+2）=4：（t﹣4），解得t=（負值舍去）；

若△POA∽△BDA，同理，解得t無解．

綜上可知，當t=或時，以A、B、D為頂點的三角形與△AOP相似．