Question

9．我們學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)的相關(guān)知識，知道銳角三角函數(shù)定量地描述了在直角三角形中邊角之間的聯(lián)系．在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長的比與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°．若∠A=30°，則cosA=$\frac{∠A\;的鄰邊}{斜邊}=\frac{AC}{AB}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系，我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對．如圖2，在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對記作sadA，這時(shí)，sadA=$\frac{底邊}{腰}=\frac{BC}{AB}$．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對值也是相互唯一確定的．
根據(jù)上述角的正對的定義，解答下列問題：
（1）直接寫出sad60°的值為1；
（2）若0°＜∠A＜180°，則∠A的正對值sad A的取值范圍是0＜sadA＜2；
（3）如圖2，已知tanA=$\frac{3}{4}$，其中∠A為銳角，求sadA的值；
（4）直接寫出sad36°的值為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求出底角的度數(shù)，判斷出三角形為等邊三角形，再根據(jù)正對的定義解答進(jìn)而得出sad90°的值；
（2）求出0度和180度時(shí)等腰三角形底和腰的比即可；
（3）過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，利用勾股定理即可解答；
（4）作出等腰△ABC，構(gòu)造等腰三角形BCD，根據(jù)正對的定義解答．

解答 解：（1）根據(jù)正對定義，
當(dāng)頂角為60°時(shí)，等腰三角形底角為60°，
則三角形為等邊三角形，
則sad60°=$\frac{1}{1}$=1．
故答案為：1；
（2）當(dāng)∠A接近0°時(shí)，sadA接近0，
當(dāng)∠A接近180°時(shí)，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．
于是sadA的取值范圍是0＜sadA＜2．
故答案為：0＜sadA＜2．
（3）如圖2，過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D．
∴∠ADB=∠CDB=90°．

在Rt△ADB中，tanA=$\frac{3}{4}$，
∴設(shè)BD=3k，則AD=4k．
∴AB=$\sqrt{B{D^2}+A{D^2}}=5k$．  
∵AB=AC，
∴CD=k．
∴在Rt△CDB中，利用勾股定理得，BC=$\sqrt{10}k$．
在等腰△ABC中，sad A=$\frac{BC}{AB}=\frac{{\sqrt{10}k}}{5k}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．  
（4）如圖3所示：已知：∠A=36°，AB=AC，BC=BD，

∴∠A=∠CBD=36°，∠ABC=∠C=72°，
∴△BCD∽△ABC，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}$，
∴$\frac{BC}{BC+CD}=\frac{CD}{BC}$，
解得：BC=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$CD，
∴sad36°=$\frac{CD}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了解直角三角形：利用三角函數(shù)的定義和相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意得出BC與CD的關(guān)系是解題關(guān)鍵．